平面向量复习课教案

一．考试要求:

1、理解向量的概念,掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念. 2、掌握向量的加法和减法。

3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。

4、了解平面向量的基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算。

5、掌握平面向量的数量积及其几何意义.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度，角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. 二．知识梳理

1．向量的概念：

向量,零向量，单位向量，平行向量(共线向量）,相等向量，向量的模等. 2．向量的基本运算 （1） 向量的加减运算

几何运算：向量的加减法按平行四边行法则或三角形法则进行。 坐标运算:设a =（x1,y1)， b =(x2，y2）则a+b=(x1+x2，y1+y2 ） a-b=(x1—x2，y1—y2)

（2） 平面向量的数量积 : a•b=abcos

设a =(x1,y1）, b =（x2,y2)则a•b=x1x2+y1y2

（3）两个向量平行的充要条件 ∥ 若 =(x1，y1）， =（x2,y2)，则 ∥ 3．两个非零向量垂直的充要条件是 ⊥

=λ x1y2-x2y1=0 · =0

设 =(x1，y1)， =（x2，y2），则 ⊥ x1x2+y1y2=0 三．教学过程

（一）基础知识训练

1.下列命题正确的是 （ )

(A)单位向量都相等 (B)任一向量与它的相反向量不相等 (C)平行向量不一定是共线向量 (D)模为0的向量与任意向量共线

2. 已知正六边形ABCDEF中,若ABa, FAb，则BC（ ）

111(A)(ab) (B)(ab) (C) ab (D)ab

2223。 已知向量e10,R,ae1e2,b=2e1若向量a与b共线，则下列关系一定成立是 （ ）

(A)0 (B) e20 (C)e1∥e2 (D)e1∥e2或0 4. 若向量a(1,x)，b(x,2)共线且方向相同，x=__________。

（二)．典例分析

例1：（1）设a与b为非零向量，下列命题：

①若a与b平行,则a与b向量的方向相同或相反;

②若ABa,CDb, a与b共线，则A、B、C、D四点必在一条直线上； ③若a与b共线，则abab；④若a与b反向，则aabb

其中正确命题的个数有 （A）1个 （B)2个 （C）3个 (D）4个

（2）下列结论正确的是 （ ） （A）abab （B）abab （C)若(ab)c(ca)b0 (D）若a与b都是非零向量,则ab的充要条件为abab

错解:（1）有学生认为①②③④全正确，答案为4;也有学生认为①或④是错的，答案为2或3；（2）A或B或C。

分析：学生对向量基础知识理解不正确、与实数有关性质运算相混淆,致使选择错误。

第(1）小题中，正确的应该是①④，答案为2。共线向量（a与b共线)的充要条件中所存在的常数可看作为向量b作伸缩变换成为另一个向量a所

b作的伸缩量；若a,b为非零向量,则共线的a与b满足a与b同向时aa，

ba与b反向时aabb。

第（2）小题中，正确答案为(D）.学生的错误多为与实数运算相混淆所致。选择支D同时要求学生明确向量垂直、两个向量的数量积、向量的模之间互化方法，并进行正确互化.

例2 设a、b是两个不共线向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b A、B、D共线则k=_____(k∈R） 解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a—b 2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb ∴ 2=2λ且 k=—λ ∴ k=—1

例3 梯形ABCD，且｜AB｜=2｜DC｜，M、N分别为DC、AB中点。 AB=a AD=b 用a，b来标DC、BC、MN.

11解：DC= AB=a

2211 BC=BD+DC=（AD-AB)+DC =b—a+ a=b- a

22111MN=DN—DM=a-b—a= a—b

244例4 ｜a|=10 b=（3,—4)且a∥b求a 解:设a=（x，y)则 x2+y2=100 (1) 由a∥b得 —4x—3y=0 （2）

解（1）（2）得 x=6 y=-8 。或 x=—6 y=8

∴ a=(6，-8）或(-6，8) 四． 归纳小结

1． 向量有代数与几何两种形式，要理解两者的内在联系，善于从图形

中发现向量间的关系.

2． 对于相等向量，平行向量，共线向量等概念要区分清楚,特别注意零

向量与任何向量共线这一情况。要善于运用待定系数法。

五．作业:

1、下列命题正确的是( ）

A．若|a|0，则a0 B．若|a||b|,则ab或ab

C．若a||b，则|a||b| D．若a0，则a0

2、已知平行四边形ABCD的三个顶点A(2,1)、B(1,3)、C(3,4)，则顶点D的坐标为（ ）

A．(1,2) B．(2,2) C．(2,1) D．(2,2)

3、设|a|m(m0)，与a反向的单位向量是b0，则a用b0表示为

11A．amb0 B．amb0 C．ab0 D．ab0

mm4、D、E、F分别为ABC的边BC、CA、AB上的中点，且BCa，CAb,下列命题中正确命题的个数是（ ）

1111①ADab;②BEab；③CFab;

2222④ADBECF0。

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5、化简：CEACDEAD=__________.

6、已知向量a3,b(1,2)，且ab，则a的坐标_____________.

227、若a1,b2,aba0，则a与b的夹角为______________。

8、已知向量a3e12e2,b4e1e2,其中e1(1,0),e2(0,1)

求 (1）ab;ab的值； (2）a与b的夹角。

9、如果向量a与b,c的夹角都是60,而bc,且|a||b||c|1，求

(a2c)•(bc)的值。

10、如图,设O为ABC内一点，PQ∥BC，且

PQt，OAa ，BCOBb，OCc，试用a，b，c表示OP,OQ． 答案

基础知识训练：D,C，D，2

653565 达标练习： D，B，B,D, 5，0； 6，（，—)，(—，

55535) 5107，450， 8，（1）a•b=10, ab=52 （2） =arccos

2219，-1 10，OP=（1-t)a+tb, OQ=（1—t)a+tb