汽车的加速度分析

辽宁沈阳 东北育才学校初一年级 黄天昊 指导老师 郭继红

一、问题的提出

在街道上，我们可以看到：许多车辆在等红灯，可在信号灯变绿后，为什么在同一条线上等待的车，有的首先冲到了前面，而有些车却被落在后面，除了司机精力是否集中外，主要是因为不同的车加速性能有所不同。衡量一辆汽车的好坏标准中，加速性能是其中一个重要因素，更是跑车好坏的最重要因素。可是加速度是如何计算出来的呢？这不禁使我产生疑惑。 二、问题的调查与分析

（一）据网上资料，影响加速度性能的因素有如下几个： 1、汽车的重量 2、发动机的扭矩 3、发动机的转速

4、空气阻力与地面的摩擦力等阻力 （二）名车相关数据 BMW宝马 车型 发动机 730Li(图1) 740 Li(图2) L6 V8 排量（ml） 2979 3600 功率扭矩变速器 A6 A6 价格（RMB） 988600 1252000 （kW） （Nm/rpm） 170 272 300 360 750 Li(图3) 760 Li(图4) V8 V8 4793 5972 273 327 490 600 A6 A6 1556000 1996500 (图1) (图2)

(图3)

(图4)

Porsche 保时捷 车型 发动机 911Carrer（图5) 911Carrera S(图6) 911Carrera 4(图7) 911Carrera 4S(图8) H6 H6 H6 H6 排量（ml） 3596 3824 3596 3824 功率扭矩变速器 M6 M6,A5 M6,A5 M6,A5 价格（RMB） 1190000 1320000 1280000 1400000 （kW） （Nm/rpm） 239 261 239 261 370 400 370 400 (图5) (图6)

(图7) (图8)

Mercedes-Benz 奔驰

车型 发动机 排量（ml） 3498 5461 5514 5980 功率扭矩变速器 A7 A7 A5 A5 价格（RMB） 1288000 1618000 1690000 2980000 （kW） （Nm/rpm） 200 285 380 450 350 530 830 1000 S350(图9 ) S500(图10) S600(图11) S65AM（图12) V6 V8 V12 V12 (图9 ) (图10)

(图11) (图12)

（三）通过观察上述材料，发现对于这些现代名车的介绍主要为七项：车型、发动机、排量、功率、扭矩、变速器和价格。而且，其中发动机、功率、扭矩和变速器都与速度有关，而加速度与这些量具有什么关系呢？

三、数学模型的建立与分析

我们需要设几个必要的参数：

2加速度为：a m/s

末速度为：V km/h（千米/小时） 汽车质量为：m kg(千克) 发动机的扭矩为：j Nm(牛顿米)

发动机的转速为：R rpm/s（转/秒） 空气阻力与地面的摩擦力等阻力为：n N(牛) 功率为：P kWh(千瓦时) 角速度为：ω rad/s(弧度/秒)

理论上来讲，在车重相同的情况下，发动机的最大扭矩越大，加速性能越好,而在相同的发动机扭矩下，车重越小加速性能越好。但是，这里忽略了几个可以比较的因素。

1、最大扭矩指标对应的是发动机的转速而不是汽车的速度。发○

动机输出的动力要通过传动系统减速增扭，然后作用于驱动轮，才会产生汽车加速所需要的力。不同车型的传动系统不同，因此在发动机最大扭矩相同的情况下，加速特性也不一定相同。

2、发动机的动力不是全部用于汽车的加速。F = ma这个公式中 ○

的力 F 是合力，包括路面阻力、风阻……可能还有为增加汽车势能而需要克服的引力。

而我们已知汽车质量、末速度、发动机的扭矩及转速还有空气阻力与地面的摩擦力等阻力。

所以我设想汽车在平直路面上由静止开始做匀加速运动，任何时刻阻力都与汽车的行驶方向相反，任何时候发动机的转速都相同的理想环境。

一般来说，在排量一定的情况下，缸径小，行程长的汽缸较注重扭矩的发挥，转速都不会太高，适用于需要大载荷的车辆。而缸径大，行程短的汽缸较注重功率的输出，转速通常较高，适用于快跑的车辆。

简单来说：功率 正比于 扭矩×转速 1、 我们知道，因为 功率＝功÷时间，

即P＝W ÷ t 又 功＝力×距离 即W＝F×s， P＝F × s/t＝F ×V

这里的v是线速度，而在引擎里，曲轴的线速度＝曲轴的角速度ω×曲轴半径r，代入上式得：

功率P＝力F×半径r×角速度ω ； 而力F×半径r＝扭矩 ；

且ω＝R2/s，

因此得出：功率P＝j×R2/s 2、因为 力＝质量×加速度，

即F＝ m × a,

而除了汽车平均驱动力还有空气阻力与地面的摩擦力等阻力。所以应该把汽车平均驱动力与这些阻力相加，得到的才是汽车的实际驱动力。而我们知道 力合＝力1+力2，

即F合＝F1+F2,

所以F(汽车的实际驱动力) ＝ma+n. 3、由于P＝F × s/t＝F ×V，

又求出了F(汽车的实际驱动力)=ma+n. 所以P＝（ma+n）×V

4、可以得出，功率P＝j×R2/s

又 P＝V（ma+n.）

即 P＝Vma + Vn 等量代换得

1jR2 ＝ Vma + vn

s Vma＝vn—jR21 svns- jR Vma＝

svns- jR a＝

Vmas四、问题的延伸

我们再看一下劳斯莱斯幻影敞篷车的技术规格： 外形参数 长：5609mm 宽：1987mm 高：1581mm 轴距：3320mm 装备质量：2620kg 轮距 前：1687mm 后：1671mm 油箱容积：80L 最小转弯直径：13.1m 行李箱容积：315L 发动机 型式：V12,直喷，可变气门正时 驱动型式：前纵置后轮驱动 压缩比：11.0／1 缸径×行程：84.6mm×92.0mm 最大功率：338kW/5350rpm 最大扭矩为：720Nm/3500rpm 排量：6749ml 行驶阻力：6665N 变速器 型式：六速自动 悬架 前：双叉臂式 后：多连杆式 转向系 型式：齿轮齿条式速感可变助力 制动器 前/后：通风盘式/通风盘式 车轮及轮胎 车轮 前/后：8×21 / 9.5×21 轮胎 前：255/50 R21 后：285/45 R21 性能 最高车速：240km/h(电子限速) 0～100 km/h 加速时间：5.9秒 价格 基本型：37万欧元 在性能一栏中，能够看到对于一个汽车加速性能介绍时，是以0～100 km/h加速度所用时间。因此，若知道0～100 km/h加速度的时间、汽车的质量、阻力和发动机转速，怎样求扭矩呢？

首先根据V＝ at，可以求出加速度a

再根据F ＝ ma，可以求出平均驱动力，再加上阻力可求实际驱动动力。

然后根据S＝12at2，可以求出路程

再根据J ＝ FS 求出所做功 然后根据P＝J/t 求出功率

最后根据上文论证 功率P＝j×R2/s

所以F＝m ×V/t + n

且S＝12×V/t ×t2

化简得S＝12×

V ×t

又J ＝(m ×V/t + n)×12×

V ×t

得J ＝12(m ×V2+ V t n)

P＝m VV V t n2t

等量代换得j×R2/s＝m VV V t n2t

化简得j＝m VV V t n4Rt

五、数据的代入与计算

在10秒内速度从0加速到100公里/小时,汽车质量为1吨，阻力1000N, 发动机转速为4000r/min，求发动机扭矩为多少？ 解：

V = at a = 1001000m3600s10= 2.778m/s/s，

F = ma m=1t=1000 kg F=2.778 m/s/s 1000kg=2778N

驱动动力=平均驱动力+阻力 阻力=1000N 驱动动力=1000N+2778N=3778N

11S=at2 S=2.778m/s/s102=138.9m

22J=FS J=2778N138.9m=5247.2J

5247.2P=J/S P==52476.4W

10发动机转速 4000r/min 扭矩=P/(R2Pie/s)

23.141594000r/min扭矩=52476.4W /()=125.3Nm

60s答：发动机的扭矩为125.3Nm。 六、结论的验证

下面，我们就来验证一下劳斯莱斯幻影敞篷车的扭矩：

m VV V t n根据所证公式：j＝

4Rt250m/s 代入数值: m＝2620 kg V＝100 km/h＝9175rpm/s T＝5.9 s R＝3500rpm/min＝3 n＝6665

2502502502620kg m/sm/s m/s 5.9s 6665N999 j ＝ 1754rpm/s5.9s3(20216041092342.6)3＝

7005.93113946.63＝

21995.9＝720Nm

而根据上表数据最大功率：338kW/5350rpm 最大扭矩为：720Nm/3500rpm ，我们发现扭矩恰好等于720 Nm，即：我们得到的结论是正确、可行的。 七、问题的总结

虽然，汽车内部有着很复杂的结构，但我们同样能在加速度、扭矩、转速、车重、行驶阻力和功率之间找到关系。随着人们生活水平的提高，人们对于汽车的要求也会越来越高。同样，汽车在外型，车内设计也会越来越合理，性能也会越来越好。我很高兴有这样一次机会，运用我自己掌握的数学知识解决生活中的实际问题；而且在整个过程中，我的数学知识也有所增加，数学能力也有所提高。但因时间及能力有限，上述论文中可能有我考虑疏漏及不足的地方，还诚恳的希望各位老师予以批评指正。