2021年中考数学预测试卷含答案解析

浙江省中考数学预测试卷

一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、

错选，均不给分）

1．﹣5的相反数是（ ）

A．﹣5 B．5 C． D．﹣

2．下列所给图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

3．如图的立体图形是由四个相同的小正方体组成，它的主视图是（ ）

A． B． C． D．

4．下列运算正确的是（ ） A．a3+a3=a6 B．2（a+b）=2a+b

C．（ab）﹣2=ab﹣2

D．a6÷a2=a4

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5．一元二次方程x2﹣2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是（ ）

A．m＞1 B．m=1 C．m＜1 D．m≤1

6．如图，直线AB∥CD，∠A=70°，∠C=40°，则∠E等于（ ）

A．30° B．40° C．60° D．70°

7．掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（ ）

A．每2次必有1次正面向上 B．可能有5次正面向上

C．必有5次正面向上 D．不可能有10次正面向上

8． 如图，将正六边形ABCDEF绕点B顺时针旋转后到达A′BC′D′E′F′的位置，所转过的度数是（ ）

A．60° B．72° C．108° D．120°

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9．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）

A．ac＞0

B．当x＞1时，y随x的增大而减小

C．b﹣2a=0

D．x=3是关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根

10．如图，平面直角坐标系中，分别以点A（2，3）、点B（3，4）为圆心，1、3为半径作⊙A、⊙B，M，N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为（ ）

A．5﹣4 B．﹣1 C．6﹣2 D．

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二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）

11．因式分解：x3﹣9x=．

12．“防浙江作出“五水共治”决策．某广告公司用形状大小完全相同的材料分别制作了“治污水”、

洪水”、“排涝水”、“保供水”、“抓节水”5块广告牌，从中随机抽取一块恰好是“治污水”广告牌的概率

是．

13．点（a，a+2）在第二象限，则a的取值范围是．

14．如图，半径为6的⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则劣弧BD的长是（结果保留

π）．

15．甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）

之间的关系如图所示，则下列说法中：

①甲队每天挖100米；

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②乙队开挖两天后，每天挖50米；

③甲队比乙队提前3天完成任务；

④当x=2或6时，甲乙两队所挖管道长度都相差100米．

正确的有．（在横线上填写正确的序号）

16．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y1=（x＞0）的图象与y2=（x＞0）的图象关于

x轴对称，Rt△AOB的顶点A，B分别在y1=（x＞0）和y2=（x＞0）的图象上．若OB=AB，

点B的纵坐标为﹣2，则点A的坐标为．

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三、解答题（本题有8小题，第17～20题每小题8分，第21题10分，第22、23题每小题8分，

第24题14分，共80分）

17．计算：|﹣1|+（π﹣5）0﹣2sin30°．

18．（1）解方程： =；

（2）先化简，再求值：（a﹣b）2+a（2b﹣a），其中a=1，b=

．

19．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．求

证：BD=BE．

20．如图，在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，拉线CE和地面成50°角，在离电线杆底

部D点6米的B处安置测角仪，测角仪高AB为1.5米，在A处测得电线杆上C处的仰角为32°，

sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.63，sin50°≈0.77，求拉线CE的长（结果精确到0.1米）．（参考数据：

cos50°≈0.，tan50°≈1.19）．

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21．为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉字的意识，我市举办了首届“汉字听写大赛”．现有

50名学生参加决赛，他们同时听写50个汉字，每正确听写出一个汉字得2分，根据测试成绩绘制

出部分频数分布表和频数分布直方图：

组别 成绩x分 频数（人数）

第1组 50≤x＜60 4

第2组 60≤x＜70 8

第3组 70≤x＜80 16

第4组 80≤x＜90 a

第5组 90≤x＜100 10

合计 50

请结合图表完成下列各题：

（1）求表中a的值；

（2）请把频数分布直方图补充完整；

（3）若测试成绩不低于80分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？ 最新 精品 Word 欢迎下载 可修改

22．某淘宝店经销的甲、乙两种商品有如如图信息：

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）甲、乙两种商品的进货价各多少元？

（2）该淘宝店平均每天卖出甲商品40件和乙商品20件．经调查发现，甲、乙两种商品零售价分别

每降1元，这两种商品每天可各多销售2件．为了使每天获取更大的利润，淘宝店决定把甲、乙两

种商品的零售价都下降m元．在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使淘宝店每天销

售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少元？

23．点P为△ABC内一点，如果∠PAC=∠PBC，那么我们称点P为△ABC关于A，B的等角点．

（1）如图1，在△ABC中，AC=BC，PA=PB，求证：P是△ABC关于A，B的等角点；

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（2）如图2，在△ABC中，AC=BC，点D是AB边的中点，点P为△ABC关于A，B的等角点，

PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，求证：DE=DF；

（3）如图3，若将第（2）中的“AC=BC”改成“AC≠BC”，其他条件不变，求证：DE=DF．

24．已知△ABC中，∠ACB=90°，BC=8，tanA=．点D由A出发沿AC向点C匀速运动，同时点

E由B出发沿BA向点A匀速运动，它们的速度相同，点F在AB上，FE=4cm，且点F在点E的

下方，当点D到达点C时，点E，F也停止运动，连接DF，设AD=x（0≤x≤6）．解答下列问题：

（1）如图1，当x为何值时，△ADF为直角三角形；

（2）如图2，把△ADF沿AB翻折，使点D落在D′点．

①当x为何值时，四边形ADFD′为菱形？并求出菱形的面积；

②如图3，连接D′E，设D′E为y，请求出y关于x的函数关系式；

③如图4，分别取D′F，D′E的中点M，N，在整个运动过程中，试确定线段MN扫过的区域的形状，

并求其面积（直接写出答案）．

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参与试题解析

一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、

错选，均不给分）

1．﹣5的相反数是（ ）

A．﹣5 B．5 C． D．﹣

【考点】相反数．

【专题】常规题型．

【分析】根据相反数的定义直接求得结果．

【解答】解：﹣5的相反数是5．

故选：B．

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【点评】本题主要考查了相反数的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．

2．下列所给图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

【考点】中心对称图形；轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；

D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．

故选D．

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两

部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

3．如图的立体图形是由四个相同的小正方体组成，它的主视图是（ ）

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A． B． C． D．

【考点】简单组合体的三视图．

【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．

【解答】解：从正面看易得第一层有2个正方形，第二层左上有1个正方形．

故选A．

【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．

4．下列运算正确的是（ ） A．a3+a3=a6 B．2（a+b）=2a+b

C．（ab）﹣2=ab﹣2

D．a6÷a2=a4

【考点】负整数指数幂；合并同类项；同底数幂的除法．

【分析】根据负整数指数幂、合并同类项、同底数幂的除法的知识点进行解答．

【解答】解：A、是合并同类项，结果为2a3，故不对；

B、是去括号，得2（a+b）=2a+2b，故不对；

C、是负整数指数幂，即，故不对；

故选D．

【点评】合并同类项，只需把系数相加减，字母和字母的指数不变，应用单项式去乘单项式的每一

项，a﹣p=

（a≠0），同底数幂除法法则：底数不变，指数相减．

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5．一元二次方程x2﹣2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是（ ）

A．m＞1 B．m=1 C．m＜1 D．m≤1

【考点】根的判别式．

【分析】根据根的判别式，令△≥0，建立关于m的不等式，解答即可．

【解答】解：∵方程x2﹣2x+m=0总有实数根， ∴△≥0，

即4﹣4m≥0， ∴﹣4m≥﹣4， ∴m≤1．

故选：D．

【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

6．如图，直线AB∥CD，∠A=70°，∠C=40°，则∠E等于（ ）

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A．30° B．40° C．60° D．70°

【考点】三角形的外角性质；平行线的性质．

【专题】计算题．

【分析】先根据两直线平行，同位角相等求出∠1，再利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角

的和即可求出∠E的度数．

【解答】解：如图，∵AB∥CD，∠A=70°， ∴∠1=∠A=70°，

∵∠1=∠C+∠E，∠C=40°， ∴∠E=∠1﹣∠E=70°﹣40°=30°．

故选：A．

【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解答此

题的关键．

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7．掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（ ）

A．每2次必有1次正面向上 B．可能有5次正面向上

C．必有5次正面向上 D．不可能有10次正面向上

【考点】可能性的大小．

【分析】本题考查了概率的简单计算能力，是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以直接应

用求概率的公式．

【解答】解：因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面，

所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是，

所以掷一枚质地均匀的硬币10次，

可能有5次正面向上；

故选B．

【点评】本题考查了可能性的大小，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率=所求情

况数与总情况数之比．

8． 如图，将正六边形ABCDEF绕点B顺时针旋转后到达A′BC′D′E′F′的位置，所转过的度数是（ ）

A．60° B．72° C．108° D．120° 最新 精品 Word 欢迎下载 可修改

【考点】旋转的性质；正多边形和圆．

【分析】由正六边形的内角和求出∠ABC=120°，得出∠CBC′=60°，即可得出结论．

【解答】解：由题意得：旋转角为∠CBC′， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠ABC=（6﹣2）×180°=120°， ∴∠CBC′=60°；

故选：A．

【点评】本题考查了旋转的性质、正六边形的内角的计算、平角的运用；熟练掌握正六边形和旋转

的性质是解决问题的关键．

9．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）

A．ac＞0

B．当x＞1时，y随x的增大而减小

C．b﹣2a=0

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D．x=3是关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根

【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质．

【专题】压轴题．

【分析】由函数图象可得抛物线开口向上，得到a大于0，又抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，得

到c小于0，进而得到a与c异号，根据两数相乘积为负得到ac小于0，选项A错误；

由抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，得到对称轴右边y随x的增大而增大，选项B错误；

由抛物线的对称轴为x=1，利用对称轴公式得到2a+b=0，选项C错误；

由抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）及对称轴为x=1，利用对称性得到抛物线与x轴另一个交点为

（3，0），进而得到方程ax2+bx+c=0的有一个根为3，选项D正确．

【解答】解：由二次函数y=ax2+bx+c的图象可得：抛物线开口向上，即a＞0，

抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，即c＜0， ∴ac＜0，选项A错误；

由函数图象可得：当x＜1时，y随x的增大而减小；

当x＞1时，y随x的增大而增大，选项B错误； ∵对称轴为直线x=1，∴﹣

=1，即2a+b=0，选项C错误；

由图象可得抛物线与x轴的一个交点为（﹣1，0），又对称轴为直线x=1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）， 则x=3是方程ax2+bx+c=0的一个根，选项D正确． 最新 精品 Word 欢迎下载 可修改

故选D．

【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系，以及抛物线与x轴的交点，难度适中．二次函数

y=ax2+bx+c=0（a≠0），a的符合由抛物线的开口方向决定，c的符合由抛物线与y轴交点的位置确

定，b的符号由a及对称轴的位置决定，抛物线的增减性由对称轴决定，当抛物线开口向上时，对称

轴左边y随x的增大而减小，对称轴右边y随x的增大而增大；当抛物线开口向下时，对称轴左边

y随x的增大而增大，对称轴右边y随x的增大而减小．此外抛物线解析式中y=0得到一元二次方

程的解即为抛物线与x轴交点的横坐标．

10．如图，平面直角坐标系中，分别以点A（2，3）、点B（3，4）为圆心，1、3为半径作⊙A、⊙B，M，N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值为（ ）

A．5﹣4 B．﹣1 C．6﹣2 D．

【考点】圆的综合题．

【专题】综合题．

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【分析】作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图，根

据两点之间线段最短得到此时PM+PN最小，再利用对称确定A′的坐标，接着利用两点间的距离公

式计算出A′B的长，然后用A′B的长减去两个圆的半径即可得到MN的长，即得到PM+PN的最小

值．

【解答】解：作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图，

则此时PM+PN最小， ∵点A坐标（2，3）， ∴点A′坐标（2，﹣3）， ∵点B（3，4）， ∴A′B=

∴MN=A′B﹣BN﹣A′M=5∴PM+PN的最小值为5

=5

﹣3﹣1=5﹣4．

， ﹣4，

故选A．

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【点评】本题考查了圆的综合题：掌握与圆有关的性质和关于x轴对称的点的坐标特征；会利用两

点之间线段最短解决线段和的最小值问题；会运用两点间的距离公式计算线段的长；理解坐标与图

形性质．

二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）

11．因式分解：x3﹣9x= x（x+3）（x﹣3） ．

【考点】提公因式法与公式法的综合运用．

【分析】先提取公因式x，再利用平方差公式进行分解．

【解答】解：x3﹣9x，

=x（x2﹣9），

=x（x+3）（x﹣3）．

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【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，本题要进行二次分解，分

解因式要彻底．

12．“防浙江作出“五水共治”决策．某广告公司用形状大小完全相同的材料分别制作了“治污水”、

洪水”、“排涝水”、“保供水”、“抓节水”5块广告牌，从中随机抽取一块恰好是“治污水”广告牌的概率

是．

【考点】概率公式．

【分析】用治污水的广告牌数除以所有广告牌数即可求得中随机抽取一块恰好是“治污水”广告牌的

概率．

【解答】解：∵5块广告牌中有一块写有“治污水”， ∴从中随机抽取一块恰好是“治污水”广告牌的概率是，

故答案为：．

【点评】此题主要考查概率的意义及求法．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

13．点（a，a+2）在第二象限，则a的取值范围是 ﹣2＜a＜0 ．

【考点】点的坐标．

【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组求解即可．

【解答】解：∵点（a，a+2）在第二象限， 最新 精品 Word 欢迎下载 可修改

∴，

解得﹣2＜a＜0．

故答案为：﹣2＜a＜0．

【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是

解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，

﹣）；第四象限（+，﹣）．

14．如图，半径为6的⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则劣弧BD的长是π （结

果保留π）．

【考点】弧长的计算；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．

【分析】连接OC、OD，由∠BAC=40°，根据圆周角定理求出∠BOC=2∠BAC=80°．再根据垂径定

理得到= ，利用圆心角、弧、弦的关系定理求出∠BOC=∠BOD=80°，然后根据弧长公式求解．

【解答】解：如图，连接OC、OD， ∵∠BAC=40°，

∴∠BOC=2∠BAC=80°．

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∵⊙O的直径AB与弦CD垂直， ∴

=

，

∴∠BOC=∠BOD=80°， ∴劣弧BD的长是：

=π．

故答案为π．

【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理以及弧长的计算，求出∠BOD=80°是解题的关键．

15．甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）

之间的关系如图所示，则下列说法中：

①甲队每天挖100米；

②乙队开挖两天后，每天挖50米；

③甲队比乙队提前3天完成任务；

④当x=2或6时，甲乙两队所挖管道长度都相差100米．

正确的有 ①②④ ．（在横线上填写正确的序号）

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【考点】一次函数的应用．

【分析】①根据函数图象由工作效率=工作总量÷工作时间就可以得出结论；

②根据函数图象由工作效率=工作总量÷工作时间就可以得出结论；

③根据函数图象求出乙队完成的时间就可以求出结论；

④由甲的工作效率就可以求出2天时的工作量为200米，乙队是300米．6天时甲队是600米，乙

队是500米得出300﹣200=600﹣500=100米故得出结论．

【解答】解：①根据函数图象得：

甲队的工作效率为：600÷6=100米/天，故正确；

②根据函数图象，得

乙队开挖两天后的工作效率为：（500﹣300）÷（6﹣2）=50米/天，故正确；

③乙队完成任务的时间为：2+（600﹣300）÷50=8天， ∴甲队提前的时间为：8﹣6=2天． ∵2≠3， ∴③错误；

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④当x=2时，甲队完成的工作量为：2×100=200米，

乙队完成的工作量为：300米．

当x=6时，甲队完成的工作量为600米，乙队完成的工作量为500米． ∵300﹣200=600﹣500=100，

∴当x=2或6时，甲乙两队所挖管道长度都相差100米．故正确．

故答案为：①②④．

【点评】本题考查了一次函数的图象的性质的运用，工程问题的数量关系：工作总量=工作效率×工

作时间的运用，解答时分析清楚一次函数的图象的意义是关键．

16．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y1=（x＞0）的图象与y2=（x＞0）的图象关于

x轴对称，Rt△AOB的顶点A，B分别在y1=（x＞0）和y2=（x＞0）的图象上．若OB=AB，

点B的纵坐标为﹣2，则点A的坐标为 （1+，3﹣） ．

【考点】反比例函数综合题．

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【分析】利用等腰直角三角形的性质结合全等三角形的判定方法得出△OEB≌△BFA（AAS），由

反比例函数y1=（x＞0）的图象与y2=（x＞0）的图象关于x轴对称，进而得出k1+k2=0，表示

出A，B点坐标列方程即可求出结论．

【解答】解：过点B作x轴的平行线EB，过点A作AF⊥EB的延长线于点F， ∵等腰Rt△OAB，∠OBA=90°，

∴∠OBE+∠ABF=90°，∠ABF+∠BAF=90°， ∴∠OBE=∠BAF，

在△OEB和△BFA中，

，

∴△OEB≌△BFA（AAS）， ∴EO=BF=2，BE=AF，

∵设AD=y，则OE=BF=2﹣y，EF=2﹣y+2=4﹣y，

故A（4﹣y，y），B（2，y﹣2）， ∵反比例函数y1=∴k1+k2=0，

即（4﹣y）y+2（y﹣2）=0，

（x＞0）的图象与反比例函数y2=（x＞0）的图象关于x轴对称，

解得：y1=3+（不合题意舍去），y2=3﹣

，

，

则点A的纵坐标为：3﹣

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∵EF=4﹣y=1+∴A（1+

，3﹣

， ）．

故答案为：（1+，3﹣）．

【点评】此题主要考查了反比例函数综合以及全等三角形的判定与性质和关于x轴对称点的性质等

知识，正确表示出A，B点坐标是解题关键．

三、解答题（本题有8小题，第17～20题每小题8分，第21题10分，第22、23题每小题8分，

第24题14分，共80分）

17．计算：|﹣1|+（π﹣5）0﹣2sin30°．

【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．

【专题】计算题．

【分析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用特殊

角的三角函数值计算即可得到结果．

【解答】解：原式=1+1﹣1

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=1．

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．（1）解方程： =；

（2）先化简，再求值：（a﹣b）2+a（2b﹣a），其中a=1，b=

．

【考点】整式的混合运算—化简求值；解分式方程．

【分析】（1）先把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可；

（2）先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．

【解答】解：（1）去分母得：2x+1=3x，

解得：x=1，

经检验：x=1是原方程的解；

（2）原式=a2﹣2ab+b2+2ab﹣a2 =b2，

当b=时，原式=2．

【点评】本题考查了整式的混合运算和求值和分式方程的应用，能把分式方程转化成整式方程是解

（1）小题的关键，能运用整式的运算法则进行化简是解（2）小题的关键，难度适中

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19．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．求

证：BD=BE．

【考点】矩形的性质；平行四边形的判定与性质．

【专题】证明题．

【分析】根据矩形的对角线相等可得AC=BD，对边平行可得AB∥CD，再求出四边形ABEC是平

行四边形，根据平行四边形的对边相等可得AC=BE，从而得证．

【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，AB∥CD，

又∵BE∥AC，

∴四边形ABEC是平行四边形， ∴AC=BE， ∴BD=BE．

【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，熟记各性质并求出四边形ABEC是平

行四边形是解题的关键．

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20．如图，在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，拉线CE和地面成50°角，在离电线杆底

部D点6米的B处安置测角仪，测角仪高AB为1.5米，在A处测得电线杆上C处的仰角为32°，

sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.63，sin50°≈0.77，求拉线CE的长（结果精确到0.1米）．（参考数据：

cos50°≈0.，tan50°≈1.19）．

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

【分析】由题意可先过点A作AH⊥CD于H．在Rt△ACH中，可求出CH，进而CD=CH+HD=CH+AB，

再在Rt△CED中，求出CE的长．

【解答】解：如图，过点A作AH⊥CD于H．

在Rt△ACH中 ∵tan∠CAH=

，

∴CH=AH×tan∠CAH=6×0.63=3.78， ∴CD=CH+DH=3.78+1.5=5.28，

在Rt△CDE中 ∵sin∠CED=

，

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∴CE==．

答：拉线CE的长为6.9米．

【点评】此题主要考查解直角三角形的应用．要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形

利用三角函数解直角三角形．

21．为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉字的意识，我市举办了首届“汉字听写大赛”．现有

50名学生参加决赛，他们同时听写50个汉字，每正确听写出一个汉字得2分，根据测试成绩绘制

出部分频数分布表和频数分布直方图：

组别 成绩x分 频数（人数）

第1组 50≤x＜60 4

第2组 60≤x＜70 8

第3组 70≤x＜80 16

第4组 80≤x＜90 a

第5组 90≤x＜100 10

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合计 50

请结合图表完成下列各题：

（1）求表中a的值；

（2）请把频数分布直方图补充完整；

（3）若测试成绩不低于80分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？

【考点】频数（率）分布直方图；频数（率）分布表．

【分析】（1）用总人数减去第1、2、3、5组的人数，即可求出a的值；

（2）根据（1）得出的a的值，补全频数分布直方图；

（3）用成绩不低于80分的频数除以总数，即可得出本次测试的优秀率．

【解答】解：（1）a=50﹣4﹣8﹣16﹣10=12；

（2）如图：

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（3）本次测试的优秀率是：×100%=44%．

【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，

必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

22．某淘宝店经销的甲、乙两种商品有如如图信息：

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）甲、乙两种商品的进货价各多少元？

（2）该淘宝店平均每天卖出甲商品40件和乙商品20件．经调查发现，甲、乙两种商品零售价分别

每降1元，这两种商品每天可各多销售2件．为了使每天获取更大的利润，淘宝店决定把甲、乙两

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种商品的零售价都下降m元．在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使淘宝店每天销

售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少元？

【考点】二次函数的应用．

【分析】（1）根据图上信息可以得出甲乙商品之间价格之间的等量关系，即可得出方程组求出即可；

（2）把商店的销售利润表示成n的函数，根据函数的性质即可求解．

【解答】解：（1）设甲种商品的进货价为x元/件，乙种商品的进货价为y元/件，

可得方程组，

解得，，

答：甲种商品的进货价为70元/件，乙种商品的进货价为50元/件；

（2）设总利润为W，由题意，W=（30﹣m）（40+2m）+（20﹣m）（20+2m），

=﹣4m2+40m+1600 =﹣4（m﹣5）2+1700，

∴当m=5时，最大利润为1700元．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，此题比较典型也是近几年中考中热点题型，注意表

示总利润时表示出商品的单件利润和所卖商品件数是解决问题的关键．

23．点P为△ABC内一点，如果∠PAC=∠PBC，那么我们称点P为△ABC关于A，B的等角点．

（1）如图1，在△ABC中，AC=BC，PA=PB，求证：P是△ABC关于A，B的等角点； 最新 精品 Word 欢迎下载 可修改

（2）如图2，在△ABC中，AC=BC，点D是AB边的中点，点P为△ABC关于A，B的等角点，

PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F，求证：DE=DF；

（3）如图3，若将第（2）中的“AC=BC”改成“AC≠BC”，其他条件不变，求证：DE=DF．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．

【专题】新定义．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可得到结果．

（2）通过△PFA≌△PEB 和△DFA≌△DEB，就看得到结论；

（3）分别取PA，PB的中点M，N，连接FM，DM，DN，NE，由P是△ABC关于A、B的等角点，

DN都是△PAB的中位线，DM=BP，∠PMF=∠PNE，得到∠PAC=∠PBC，由于DM，推出DM∥BP，

DN∥AP，DN=AP，由于DM=BP，EN=，DN=AP，MF=，得到DM=EN，DN=MF，

根据△DMF≌△DNE，得到结论DF=DE．

【解答】（1）证明∵AC=BC， ∴∠CAB=∠CBA， ∵PA=PB，

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∴∠PAB=∠PBA， ∴∠PBC=∠PAC，

∴P是△ABC关于A、B的等角点；

（2）证明∵P是△ABC关于A、B的等角点， ∴∠PAC=∠PBC， ∵AC=BC， ∴∠BAC=∠ABC， ∴∠PAB=∠PBA， ∴PA=PB，

∴PF⊥AC，PE⊥BC， ∴∠PFA=∠PEB

∵∠PBC=∠PAC，PA=PB，

在△PFA与△PEB 中，

，

∴△PFA≌△PEB， ∴FA=EB

∵点D是AB的中点，

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∴AD=BD，

∵∠BAC=∠ABC，FA=EB，

在△DFA与△DEB中，

，

∴△DFA≌△DEB， ∴DF=DE，

（3）证明：分别取PA，PB的中点M，N，连接FM，DM，DN，NE， ∵∠AFP=∠BEP=90°， ∴MF=AM=

，EN=BM=

，

∴∠PAC=∠AFM，∠PAE=∠BEN， ∴∠PMF=2∠PAC，∠PNE=2∠PBC， ∵P是△ABC关于A、B的等角点， ∴∠PAC=∠PBC， ∴∠PMF=∠PNE，

∵DM，DN都是△PAB的中位线，

∴DM∥BP，DM=BP，DN∥AP，DN=AP， ∴∠DMP+∠APB=180°，∠DNP+∠APB=180°， 最新 精品 Word 欢迎下载 可修改

∴∠DMP=∠DNP， ∵∠PMF=∠PNE， ∴∠DMF=∠DNE， ∵DM=BP，EN=

，DN=AP，MF=

，

∴DM=EN，DN=MF，

在△DMF与△DNE中，

，

∴△DMF≌△DNE， ∴DF=DE．

【点评】本题考查了全等三角形判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，正确的作

出辅助线是解题的关键．

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24．已知△ABC中，∠ACB=90°，BC=8，tanA=．点D由A出发沿AC向点C匀速运动，同时点

E由B出发沿BA向点A匀速运动，它们的速度相同，点F在AB上，FE=4cm，且点F在点E的

下方，当点D到达点C时，点E，F也停止运动，连接DF，设AD=x（0≤x≤6）．解答下列问题：

（1）如图1，当x为何值时，△ADF为直角三角形；

（2）如图2，把△ADF沿AB翻折，使点D落在D′点．

①当x为何值时，四边形ADFD′为菱形？并求出菱形的面积；

②如图3，连接D′E，设D′E为y，请求出y关于x的函数关系式；

③如图4，分别取D′F，D′E的中点M，N，在整个运动过程中，试确定线段MN扫过的区域的形状，

并求其面积（直接写出答案）．

【考点】几何变换综合题．

【分析】（1）△ADF为直角三角形，有两种可能：∠ADF=90°或∠AFD=90°，根据锐角三角函数列

方程求解即可；

（2）①根据菱形的判定，可知当AD=DF时，四边形ADFD′为菱形，根据锐角三角函数列方程求

出x，计算菱形的面积即可； 最新 精品 Word 欢迎下载 可修改

②根据锐角三角函数表示出AG、D′G、GE，根据勾股定理列出函数表达式；

③根据三角形中位线定理可知线段MN扫过的区域的形状是平行四边形，其面积为．

【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，BC=8，tanA=， ∴BC=8，AB=10，

∴AD=x，BF=2 x，AF=6﹣x，

当∠ADF=90°，如图1左图， ∵tanA=， ∴cosA=， ∴∴

；

，

当∠AFD=90°，如图1右图， ∵tanA= ∴cosA=， ∴∴∴当

， 或

，△ADF为直角三角形； ，

（2）①如图2， ∵AD=AD′，D′F=DF，

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∴当AD=DF时，四边形ADFD′为菱形， ∴连接DD′⊥AF于G，AG=∵tanA= ∴cosA=，

，

∴，

∴x=，

S菱形=；

②如图3，作D′G⊥AF于G， ∵tanA=，

∴cosA=，sinA=， ∴∴

，

∴；

（3）平行四边形，．

∵M、N分别为D′F、D′E的中点， ∴MN∥EF，MN=EF=2，

∴线段MN扫过的区域的形状是平行四边形，

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当D运动到C，则F正好运动到A，此时MA=D′A=DA=3， ∵∠DAB=∠D′AB， ∴tanA=tan∠D′AB=，

点M到AB的距离设为4x，则（3x）2+（4x）2=32，

解得：x=，

4x=，

=

．

∴线段MN扫过的区域的形状是平行四边形的面积=2×

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【点评】本题主要考查了锐角三角函数、直角三角形的判定、菱形的判定、勾股定理以及三角形中

位线性质的综合运用，具备较强的数形结合能力是解决问题的关键．

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