高考物理一轮复习第四章曲线运动万有引力与航天专题强化五地球同步卫星双星或多星模型学案.doc

专题强化五 地球同步卫星 双星或多星模型

专题解读1.本专题是万有引力定律在天体运行中的特殊运用，同步卫星是与地球(中心)相对静止的卫星；而双星或多星模型有可能没有中心天体，近年来常以选择题形式在高考题中出现．

2．学好本专题有助于学生加深万有引力定律的灵活应用，加深力和运动关系的理解． 3．需要用到的知识：牛顿第二定律、万有引力定律、圆周运动规律等．

命题点一 地球同步卫星

1．定义：相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星． 2．“七个一定”的特点：

(1)轨道平面一定：轨道平面与赤道平面共面． (2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24h. (3)角速度一定：与地球自转的角速度相同．

(4)高度一定：由G错误!＝m错误!(R＋h)得地球同步卫星离地面的高度h＝3.6×10m. (5)速率一定：v＝GM3

＝3.1×10m/s. R＋h

2

7

(6)向心加速度一定：由G错误!＝ma得a＝错误!＝gh＝0.23m/s，即同步卫星的向心加速度等于轨道处的重力加速度．

(7)绕行方向一定：运行方向与地球自转方向相同．

例1 (2016·全国Ⅰ卷·17)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯．目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍．假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( )

A．1h B．4h C．8h D．16h 答案 B

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解析 地球自转周期变小，卫星要与地球保持同步，则卫星的公转周期也应随之变小，由开r3

普勒第三定律＝k可知卫星离地球的高度应变小，要实现三颗卫星覆盖全球的目的，则卫

T2星周期最小时，由数学几何关系可作出它们间的位置关系如图所示．

R

卫星的轨道半径为r＝＝2R

sin30°r31r32

由＝得错误!＝错误!. T21T22解得T2≈4h.

解决同步卫星问题的“四点”注意

Mmv24π22

1．基本关系：要抓住：G＝ma＝m＝mrω＝mr.

r2rT22．重要手段：构建物理模型，绘制草图辅助分析． 3．物理规律：

(1)不快不慢：具有特定的运行线速度、角速度和周期． (2)不高不低：具有特定的位置高度和轨道半径．

(3)不偏不倚：同步卫星的运行轨道平面必须处于地球赤道平面上，只能静止在赤道上方的特定的点上． 4．重要条件：

(1)地球的公转周期为1年，其自转周期为1天(24小时)，地球的表面半径约为6.4×10km，表面重力加速度g约为9.8m/s.

(2)月球的公转周期约27.3天，在一般估算中常取27天．

(3)人造地球卫星的运行半径最小为r＝6.4×10km，运行周期最小为T＝84.8min，运行速度最大为v＝7.9km/s.

1．(2016·四川理综·3)批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”．如

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3

2

3

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图1所示，1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440km，远地点高度约为2060km；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35786km的地球同步轨道上．设东方红一号在远地点的加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为

a3，则a1、a2、a3的大小关系为( )

图1

A．a2＞a1＞a3 B．a3＞a2＞a1 C．a3＞a1＞a2 D．a1＞a2＞a3 答案 D

解析 由于东方红二号卫星是同步卫星，则其角速度和赤道上的物体角速度相等，根据a＝Mm2

ωr，r2>r3，则a2>a3；由万有引力定律和牛顿第二定律得，G＝ma，由题目中数据可以得

r2出，r1a2>a3，选项D正确．

2．(2014·天津·3)研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时．假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比( )

A．距地面的高度变大 B．向心加速度变大 C．线速度变大 D．角速度变大 答案 A

解析 地球的自转周期变大，则地球同步卫星的公转周期变大．由错误!＝m错误!(R＋h)，3GMT2

得h＝－R，T变大，h变大，A正确．

4π2GMmGM

由＝ma，得a＝，r增大，a减小，B错误． r2r2GMmmv2

由＝，得v＝r2r

GM

，r增大，v减小，C错误． r

2π

由ω＝可知，角速度减小，D错误．

T

3．(多选)地球同步卫星离地心的距离为r，运行速率为v1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，地球的第一宇宙速度为v2，半径为R，则下列比例关系中

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正确的是( ) a1ra1r2A.＝ B.＝() a2Ra2Rv1rv1C.＝ D.＝v2Rv2答案 AD

解析 设地球的质量为M，同步卫星的质量为m1，在地球表面绕地球做匀速圆周运动的物体a122

的质量为m2，根据向心加速度和角速度的关系有a1＝ω1r，a2＝ω2R，又ω1＝ω2，故＝

a2rMm1v21Mm2v22v1，选项A正确；由万有引力定律和牛顿第二定律得G＝m1，G＝m2，解得＝Rr2rR2Rv2选项D正确．

命题点二 双星或多星模型 1．双星模型

(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图2所示．

R

，r

R r

图2

(2)特点：

①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即 Gm1m2Gm1m222

＝m1ω1r1，＝m2ω2r2 L2L2②两颗星的周期及角速度都相同，即

T1＝T2，ω1＝ω2

③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L (3)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即2．多星模型

(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除星体外，各星体的角速度或周期相同． (2)三星模型：

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m1r2

＝. m2r1

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①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图3甲所示)．

②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．

图3

(3)四星模型：

①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．

②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．

例2 (2015·安徽理综·24)由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图4为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况)．若A星体质量为2m、B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：

图4

(1)A星体所受合力大小FA； (2)B星体所受合力大小FB； (3)C星体的轨道半径RC；

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(4)三星体做圆周运动的周期T.

m2m27

答案 (1)23G (2)7G (3)a (4)π

a2a24

a3

Gm

mAmB2m2

解析 (1)由万有引力定律，A星体所受B、C星体引力大小为FBA＝G＝G＝FCA

r2a2方向如图所示

m2

则合力大小为FA＝FBA·cos30°＋FCA·cos30°＝23G a2(2)同上，B星体所受A、C星体引力大小分别为

FAB＝GFCB＝GmAmB2m2

＝G r2a2mCmBm2＝G r2a2

方向如图所示， 由余弦定理得合力为：

FB＝F2AB＋F2CB－2FAB·FCB·cos120°＝7G (3)由于mA＝2m，mB＝mC＝m

通过分析可知，圆心O在BC的中垂线AD的中点 则RC＝

731

a2＋2a2＝4a 4

a3. Gm

m2a2

m22π2

(4)三星体运动周期相同，对C星体，由FC＝FB＝7G＝m()RC，可得T＝π

a2T

4．(2013·山东理综·20)双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为( )

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n3T k2n2T k

n3T knT k

A.C.

B.D.

答案 B

解析 设两恒星的质量分别为m1、m2，距离为L， 双星靠彼此的引力提供向心力，则有

GGm1m24π2

＝m1r1 L2T2m1m24π2＝m2r2 L2T2

并且r1＋r2＝L 解得T＝2π错误!

当两星总质量变为原来的k倍，两星之间距离变为原来的n倍时

T′＝2π错误!

＝

n3

·T k

故选项B正确．

5．银河系的恒星中大约四分之一是双星．如图5所示，某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点O做匀速圆周运动．由天文观察测得它们的运动周期为T，若已知S1和S2的距离为r，引力常量为G，求两星的总质量

M.

图5

答案

4π2r3

GT2

解析 设星体S1、S2的质量分别为m1、m2，运动的轨道半径分别为R1、R2，则运动的角速度2π

为ω＝ T

根据万有引力定律和向心力公式有

Gm1m222

＝m1ωR1＝m2ωR2 r2

又R1＋R2＝r

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联立解得两星的总质量为

M＝m1＋m2＝

ω2r2R2ω2r2R1ω2r34π2r3

＋＝＝. GGGGT2

一、近地卫星、同步卫星和赤道上随地球自转的物体的比较

如图6所示，a为近地卫星，半径为r1；b为同步卫星，半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，半径为r3.

图6

向心力 轨道半径 近地卫星 万有引力 同步卫星 万有引力 赤道上随地球自转的物体 万有引力的一个分力 r1ω2 r3r2>r3＝r1 同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，故ω2角速度 ω＝＝ω3 ω1>ω2＝ω3 由线速度 GMmmv2＝得 r2r由v＝rω得v2>v3 GM，故v1>v2 rv＝v1>v2>v3 由向心加速度 GMmGM＝ma得a＝，故r2r2由a＝rω得a2>a3 2a1>a2 a1>a2>a3

二、卫星追及相遇问题

典例 (多选)如图7，三个质点a、b、c的质量分别为m1、m2、M(M远大于m1及m2)，在c感谢您的聆听

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的万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为ra∶rb＝1∶4，则下列说法中正确的有( )

图7

A．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶8 B．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶4

C．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次 D．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次 答案 AD

解析 根据开普勒第三定律：周期的平方与半径的三次方成正比，则周期之比为1∶8，A对；设图示位置夹角为θ<π

，b转动一周(圆心角为2π)的时间为t＝Tb，则a、b相距最2

2π2π

远时：Tb－Tb＝(π－θ)＋n·2π(n＝0,1,2,3，…)，可知n<6.75，n可取7个值；a、

TaTb

b相距最近时：2π2π

Tb－Tb＝(2π－θ)＋m·2π(m＝0,1,2,3，…)，可知m<6.25，m可取TaTb

7个值，故在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次，D对．

点评 某星体的两颗卫星之间的距离有最近和最远之分，但它们都处在同一条直线上，由于它们的轨道不是重合的，因此在最近和最远的相遇问题上不能通过位移或弧长相等来处理，而是通过卫星运动的圆心角来衡量，若它们初始位置在同一直线上，实际上内轨道所转过的圆心角与外轨道所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是出现最近或最远的时刻，而本题中a、b、c三个质点初始位置不在一条直线上，故在列式时要注意初始角度差．

题组1 同步卫星

1．(多选)据报道，北斗卫星导航系统利用其定位、导航等功能加入到马航MH370失联客机搜救工作，为指挥中心调度部署人力、物力提供决策依据，保证了搜救船只准确抵达相关海

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域，帮助搜救船只规划搜救航线，避免搜救出现遗漏海域，目前北斗卫星导航定位系统由高度均约为36000km的5颗静止轨道卫星和5颗倾斜地球同步轨道卫星以及高度约为21500km的4颗中轨道卫星组网运行，下列说法正确的是( ) A．中轨道卫星的周期比同步卫星的周期大 B．所有卫星均位于以地心为中心的圆形轨道上 C．同步卫星和中轨道卫星的线速度均小于第一宇宙速度

D．赤道上随地球自转的物体的向心加速度比同步卫星的向心加速度大 答案 BC

解析 由开普勒第三定律可知，轨道半径较小的中轨道卫星的周期比同步卫星的周期小，A项错；由题意知，北斗导航系统的卫星轨道高度一定，因此卫星均位于以地心为中心的圆形轨道上，B项正确；第一宇宙速度是卫星绕地球的最大运行速度，C项正确；赤道上物体与同步卫星的角速度相同，由a＝ωr可知，同步卫星的向心加速度较大，D项错． 2．如图1所示，轨道Ⅰ是近地气象卫星轨道，轨道Ⅱ是地球同步卫星轨道，设卫星在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上都绕地心做匀速圆周运动，运行的速度大小分别是v1和v2，加速度大小分别是a1和a2，则( )

2

图1

A．v1>v2 a1v2 a1>a2 C．v1a2 答案 B

Mmv2

解析 根据G＝m＝ma，可知v＝

r2r

GMGM

，a＝，所以v1>v2，a1>a2.选项B正确． rr2

3．设地球的质量为M，半径为R，自转周期为T，引力常量为G.“神舟九号”绕地球运行时离地面的高度为h，则“神舟九号”与“同步卫星”各自所在轨道处的重力加速度的比值为( )

A.错误! B.错误!

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C.错误! D.错误! 答案 C

解析 设“神舟九号”与“同步卫星”各自所在轨道处的重力加速度分别为g神九、g同步，则

m神九g神九＝G错误!，m同步g同步＝G错误!＝错误!，联立可得错误!＝错误!，故C正确．

4．“神舟八号”飞船绕地球做匀速圆周运动时，飞行轨道在地球表面的投影如图2所示，图中标明了飞船相继飞临赤道上空所对应的地面的经度．设“神舟八号”飞船绕地球飞行的轨道半径为r1，地球同步卫星飞行轨道半径为r2.则r1∶r2等于( )

3

3

图2

A．1∶24

B．1∶156

C．1∶210 D．1∶256 答案 D

22.5°解析 从图象中可以看出，飞船每运行一周，地球自转22.5°，故飞船的周期为T1＝360°r31T211.521

×24h＝1.5h，同步卫星的周期为24h，由开普勒第三定律可得＝＝()＝，故选r32T2224256D.

题组2 双星、多星模型

5．(多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图3所示，三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，万有引力常量为G，则( )

图3

A．每颗星做圆周运动的线速度为B．每颗星做圆周运动的角速度为

Gm

R3Gm R3

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R3 3Gm

C．每颗星做圆周运动的周期为2π

D．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关 答案 ABC

R23

解析 由图可知，每颗星做匀速圆周运动的半径r＝＝R.由牛顿第二定律得

cos30°3Gm2v24π22

·2cos30°＝m＝mωr＝mr＝ma，可解得v＝R2rT2

Gm

，ω＝R

3Gm

，T＝2πR3

R3，3Gm

a＝

3Gm

，故A、B、C均正确，D错误． R2

6．2016年2月11日，美国科学家宣布探测到引力波的存在，引力波的发现将为人类探索宇宙提供新视角，这是一个划时代的发现．在如图4所示的双星系统中，A、B两个恒星靠着相互之间的引力正在做匀速圆周运动，已知恒星A的质量为太阳质量的29倍，恒星B的质量为太阳质量的36倍，两星之间的距离L＝2×10m，太阳质量M＝2×10kg，引力常量G＝6.67×10

－11

5

30

N·m/kg，π＝10.若两星在环绕过程中会辐射出引力波，该引力波的频率与

222

两星做圆周运动的频率具有相同的数量级，则根据题目所给信息估算该引力波频率的数量级是( )

图4

A．10Hz B．10Hz C．10Hz D．10Hz 答案 A

解析 A、B的周期相同，角速度相等，靠相互之间的引力提供向心力， MAMB4π2有G＝MArA L2T2

②

①

6

8

2

4

GMAMB4π2＝MBrB L2T2

有MArA＝MBrB，rA＋rB＝L， MB3636解得rA＝L＝L＝L.

MA＋MB29＋3665

36

4π2L3×

65，

GMB

由①得T＝

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1则f＝＝T

GMB

＝错误!Hz≈1.6×10Hz. 36

4π2L3×

65

2

7．经过用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识，双星系统由两个星体组成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离，一般双星系统距离其他星体很远，可以当成孤立系统来处理．现根据对某一双星系统的测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动． (1)计算出该双星系统的运动周期T；

(2)若该实验中观测到的运动周期为T观测，且T观测∶T＝1∶N(N>1)．为了理解T观测与T的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质．作为一种简化模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布这种暗物质．若不考虑其他暗物质的影响，根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度． 答案 (1)πL2L

(2)错误! GM

M22π2L

解析 (1)双星均绕它们连线的中点做圆周运动，万有引力提供向心力，则G＝M·，L2T2解得T＝πL2L

. GM

观测

(2)N>1，根据观测结果，星体的运动周期为T＝

1N

T球体)均匀分布的暗物质引起的，均匀分布在双星系统内的暗物质对双星系统的作用与一个质点(质点的质量等于球内暗物质的总质量M′且位于中点O处)的作用等效，考虑暗物质作用后双星系统的运动周期，即

G＋G错误!＝M错误!2·错误!，

代入T＝πL2LN－1

并整理得M′＝M. GM4

M2

L2

故所求的暗物质密度为ρ＝错误!＝错误!.

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