天体运动的分析

一、万有引力定律及其应用 重力与重力加速度

1．关于重力

（1）在地面上，忽略地球自转时，认为物体的向心力为零．各处位置均有：mg＝GMm

（2）由于Fn＝mRω2非常小，所以对一般问题的研究认为Fn＝0，mg＝2

R

2．重力加速度

MmGM

（1）任意星球表面的重力加速度：在星球表面处，由于万有引力近似等于重力，G2＝mg，g＝2 RR

（R为星球半径，M为星球质量）

MmGM

（2）星球上空某一高度h处的重力加速度：G＝mg′，g′＝ R＋h2R＋h2

随着高度的增加，重力加速度逐渐减小

GMm

R2二、天体质量和密度的估算

1．解决天体圆周运动问题的一般思路：利用万有引力定律解决天体运动的一般步骤 （1）两条线索

①万有引力提供向心力F＝Fn

②重力近似等于万有引力提供向心力 （2）两组公式

Mmv24π2

2

①G2＝m＝mωr＝m2r

rrT

v24π2

2

②mg＝m＝mωr＝m2r（g为轨道所在处重力加速度）

rT

2．天体质量和密度的计算

（1）利用天体表面的重力加速度g和天体半径R

MmgR2MM3g由于G2＝mg，故天体质量M＝，天体密度ρ＝＝＝

RGV434πGR

πR3

（2）通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r进行计算

Mm4π24π2r3

①由万有引力等于向心力，即G2＝m2r，得出中心天体质量M＝2 rTGT

3MM3πr

②若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝23

V43GTR

πR3

③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝

3π

．可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度 GT2

三、对人造卫星的认识及变轨问题

1．人造卫星的动力学特征：万有引力提供向心力，即 Mmv22πG2＝m＝mrω2＝m（）2r rrT2．人造卫星的运动学特征

Mmv2GM（1）线速度v：由G2＝m得v＝ ，随着轨道半径的增大，卫星的线速度减小

rrrMmGM（2）角速度ω：由G2＝mω2r得ω＝，随着轨道半径的增大，卫星的角速度减小

rr3

Mm4π2

（3）周期：由G2＝m2r，得T＝2π

rT

3．卫星的稳定运行与变轨运行分析 （1）什么情况下卫星稳定运行？

r3，随着轨道半径的增大，卫星的运行周期增大 GM

Mmmv2

卫星所受万有引力恰等于做匀速圆周运动的向心力时，将保持匀速圆周运动，满足的公式：G2＝ rr

（2）变轨运行分析：

当卫星由于某种原因速度突然改变时（开启或关闭发动机或空气阻力作用），万有引力就不再等于所需的向心力，卫星将做变轨运行

mv2

①当v增大时，所需向心力增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来

r

GM的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由v＝ 知其运行速度要减小，但重力势

r

能、机械能均增加

mv2

②当卫星的速度突然减小时，向心力减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向r

GM心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由v＝ 知其运行速度将增大，

r

但重力势能、机械能均减少（卫星的发射和回收就是利用了这一原理）

四、环绕速度与发射速度的比较及地球同步卫星

1．环绕速度与发射速度的比较

M近地卫星的环绕速度v＝ G＝gR＝7.9 km/s，通常称为第一宇宙速度，它是地球周围所有卫星

R

的最大环绕速度，是在地面上发射卫星的最小发射速度

M不同高度处的人造卫星在圆轨道上的运行速度v＝ G，其大小随半径的增大而减小．但是，由于

r

在人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功，所以将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大

2．地球同步卫星特点

（1）地球同步卫星只能在赤道上空．

（2）地球同步卫星与地球自转具有相同的角速度和周期 （3）地球同步卫星相对地面静止 （4）同步卫星的高度是一定的

五、双星、三星模型

宇宙中，离其它天体较远的两（三）个天体，靠相互的万有引力提供做圆周运动的向心力，以相同的角速度绕同一点做匀速圆周运动

一、万有引力定律及其应用

【例1】英国《新科学家（New Scientist）》杂志评选出了2008年度世界科学之最，在XTEJ1650—500

M

双星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半径R约为45 km，质量M和半径R的关系满足R

2c

＝（其中c为光速，G为引力常量），则该黑洞表面重力加速度的数量级为（ ） 2G

A．108 m/s2 B．1010 m/s2 C．1012 m/s2 D．1014 m/s2

【变式1】2009年6月19日凌晨5点32分（美国东部时间2009年6月18日下午5点32分），美国航空

航天局在佛罗里达州卡纳维拉尔角空军基地41号发射场用“宇宙神­5”运载火箭将月球勘测轨道飞行器（LRO）送入一条距离月表31英里（约合50 km）的圆形极地轨道，LRO每天在50 km的高度穿越月球两极上空10次．若以T表示LRO在离月球表面高度h处的轨道上做匀速圆周运动的周期，以R表示月球的半径，则（ ）

4π2R

A．LRO运行的向心加速度为2

TB．LRO运行的向心加速度为4π2R

C．月球表面的重力加速度为2

TD．月球表面的重力加速度为

二、天体质量和密度的估算

【例2】已知万有引力常量G，地球半径R，月球和地球之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕

地球的运转周期T1，地球的自转周期T2，地球表面的重力加速度g.某同学根据以上条件，提出一种

Mm2π24π2h3

估算地球质量M的方法：同步卫星绕地心做圆周运动，由G2＝m()h得M＝．

hT2GT22

（1）请判断上面的结果是否正确，并说明理由．如不正确，请给出正确的解法和结果． （2）请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法．

【变式2】“嫦娥一号”探月飞船绕月球做“近月”匀速圆周运动，周期为T，则月球的平均密度ρ的表

达式为（k为某个常数）（ ）

kk

A．ρ＝ B．ρ＝kT C．ρ＝2 D．ρ＝kT2

TT

三、对人造卫星的认识及变轨问题

【例3】 2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从

圆形轨道 Ⅰ 进入椭圆轨道 Ⅱ ，B为轨道 Ⅱ 上的一点，如图所示．关于航天飞机的运动，下列说法中不正确的有（ ）

A．在轨道 Ⅱ 上经过A的速度小于经过B的速度

B．在轨道 Ⅱ 上经过A的动能小于在轨道 Ⅰ 上经过A的动能 C．在轨道 Ⅱ 上运动的周期小于在轨道 Ⅰ 上运动的周期

D．在轨道 Ⅱ 上经过A的加速度小于在轨道 Ⅰ 上经过A的加速度

【变式3】1970年4月24日，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”发射成功，开

创了我国航天事业的新纪元．如图所示，“东方红一号”的运行轨道为椭圆轨道，其近地点M和远地点N的高度分别为439 km和2384 km，则（ ） A．卫星在M点的势能大于N点的势能 B．卫星在M点的角速度大于N点的角速度 C．卫星在M点的加速度小于N点的加速度 D．卫星在N点的速度大于7.9 km/s

四、环绕速度与发射速度的比较及地球同步卫星

【例4】我国成功发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥一号”．设该卫星的运行轨道是圆形的，且贴近月

11

球表面．已知月球的质量约为地球质量的，月球的半径约为地球半径的，地球上的第一宇宙速度

814

约为7.9 km/s，则该探月卫星绕月运行的速率约为（ ）

A．0.4 km/s B．1.8 km/s C．11 km/s D．36 km/s

【变式4】如图所示，同步卫星离地心距离为r，运行速率为v1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球

自转的向心加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球的半径为R，则下列比值正确的是( )

a1rA．＝

a2Rv1rC．＝

v2R

Ra1

B．＝()2

a2

rv1

D．＝

v2

R rA 夯实基础

1．2008年9月25日至28日，我国成功实施了“神舟”七号载人航天飞行并实现了航天员首次出舱．飞

船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟．下列判断正确的是（ ） A．飞船变轨前后的机械能相等

B．飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态

C．飞船在此圆轨道上运动的角速度小于同步卫星运动的角速度

D．飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后沿圆轨道运动的加速度

2．某同学通过Internet查询到“神舟”六号飞船在圆形轨道上运行一周的时间约为90分钟，他将这一信

息与地球同步卫星进行比较，由此可知（ ）

A．“神舟”六号在圆形轨道上运行时的向心加速度比地球同步卫星小 B．“神舟”六号在圆形轨道上运行时的速率比地球同步卫星小

C．“神舟”六号在圆形轨道上运行时离地面的高度比地球同步卫星低 D．“神舟”六号在圆形轨道上运行时的角速度比地球同步卫星小

3．如图所示，假设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，飞船在距月球表面高度为3R的圆形轨道

Ⅰ运动，到达轨道的A点点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动．则（ ）

A．飞船在轨道Ⅰ上的运行速度为

1g0R 2B．飞船在A点处点火时，动能增加

C．飞船在轨道Ⅰ上运行时通过A点的加速度大于在轨道Ⅱ上运行时通过A点的加速度

R

D．飞船在轨道Ⅲ绕月球运行一周所需的时间为2π

g0

4．随着“神七”飞船发射的成功，中国航天事业下一步的进展备受关注．“神八”发射前，将首先

发射试验性质的小型空间站“天宫一号”，然后才发射“神八”飞船，两个航天器将在太空实现空间交会对接．空间交会对接技术包括两部分相互衔接的空间操作，即空间交会和空间对接．所谓交会是指两个或两个以上的航天器在轨道上按预定位置和时间相会，而对接则为两个航天器相会后在结构上连成一个整体．关于“天宫一号”和“神八”交会时的情景，以下判断正确的是（ ） A．“神八”加速可追上在同一轨道的“天宫一号” B．“神八”减速方可与在同一轨道的“天宫一号”交会

C．“天宫一号”和“神八”交会时它们具有相同的向心加速度 D．“天宫一号”和“神八”交会时它们具有相同的向心力

5．月球与地球质量之比约为1∶80．有研究者认为月球和地球可视为一个由两质点构成的双星系统，它们

都围绕月地连线上某点O做匀速圆周运动．据此观点，可知月球与地球绕O点运动的线速度大小之比约为（ ） A．1∶00 B．1∶80 C．80∶1 D．00∶1

B 能力提高

6．在太阳系中有一颗行星的半径为R，若在该星球表面以初速度v0竖直上抛一物体，则该物体上升的最

大高度为H.已知该物体所受的其他力与行星对它的万有引力相比较可忽略不计（万有引力常量G未知）．则根据这些条件，可以求出的物理量是（ ） A．该行星的密度 B．该行星的自转周期 C．该星球的第一宇宙速度

D．该行星附近运行的卫星的最小周期

7．为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国预计于2011年10月发射第一颗火星探测器“萤火一

号”．假设探测器在离火星表面高度分别为h1和h2的圆轨道上运动时，周期分别为T1和T 2．火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，引力常量为G．仅利用以上数据，可以计算出（ ） A．火星的密度和火星表面的重力加速度 B．火星的质量和火星对“萤火一号”的引力 C．火星的半径和“萤火一号”的质量

D．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力

8．天文学家新发现了太阳系外的一颗行星．这颗行星的体积是地球的4.7倍，是地球的25倍．已知某一

-1122,

近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G=6.67×10N·m/kg,由此估算该行星的平均密度为（ ）

A．1.8×103kg/m3 B．5.6×103kg/m3 C．1.1×104kg/m3 D．2.9×104kg/m3

9．假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体

的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（ ）

A．1

10．质量为m的人造地球卫星与地心的距离为r时，引力势能可表示为EP=-G

d R

B．1d R

C．(Rd2) R

D．(R2) RdMm，其中G为引力常量，Mr为地球质量．该卫星原来的在半径为R1的轨道上绕地球做匀速圆周运动，由于受到极稀薄空气的摩擦作用，飞行一段时间后其圆周运动的半径变为R2，此过程中因摩擦而产生的热量为（ ） A．GMm(

11-) R2R1 B．GMm(

11-)

R1R2C．

111GMm(-)

R2R12 D．

111GMm(-)

R1R22C 综合创新

11．两颗靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其连线上某—点O为圆心各自做匀速圆周运动时，

两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图所示．设双星的质量分别为m1和m2，它们之间的距离为L．求双星运行轨道半径r1和r2，以及运行的周期T．