高中数学数列知识点与例题

知识点：

(一)数列的该概念和表示法、

（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项记作an，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n项（也叫通项）记作an；

数列的一般形式：a1，a2，a3，……，an，……，简记作 an。

（2）通项公式的定义：如果数列{an}的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。

说明：①an表示数列，an表示数列中的第n项，an= fn表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。 ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，，，，…… （3）数列的函数特征与图象表示：

序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9

上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集（或它的有限子集）的函数当自变量从1开始依次取值时对应的一系列函数值……，，……．通常用来代替，其图象是一群孤立的点 （4）数列分类：

①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；

②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。

（5）递推公式定义：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项an1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。 （6）数列通项an与前n项和Sn的关系

1．Sna1a2a3an

S1aa 2．ini1SnSn1nn1 n2S1题型一 应用anSnSn1(n1)求数列通项 (n2)【例1】已知数列an的前n项和Sn3n2，求其通项公式. 解析：当n1时,a1S13121，

当n2时,anSnSn1(3n2)(3n12)23n1

1又a11不适合上式，故ann123题型二、利用递推关系求数列的通项

【例2】根据数列an的首项和递推关系，a1求其通项公式 解析：因为an1an14n21111所以a2a1()

213111a3a2()

235111a4a3()

257…，…，

111anan1()

22n32n1(n1)(n2)1,214n21

an1an14n21

，所以an1an111() 22n12n1以上(n1)个式相加得

11(1) 22n114n3即：an1 4n24n2 ana1【点拨】：在递推关系中若an1anf(n),求an用累加法，若累乘法，若an1panq，求an用待定系数法或迭代法。 课外练习 1、设an( C )

A．an1an B．an1an C．an1an D．不能确定 解：因为

1112n22n3n1

1102n32n2an1anan1f(n),求an用an111，(nN)，则an1与an的大小关系是n1n22n1所以an1an，选Ｃ．

2,(n1)2．已知数列an的前n项和Snn4n1，则an

2n5,(n2)23．已知数列an的通项小项分别是a10，a9 解：构造函数yn98n99（nN），则数列an的前30项中最大项和最

x98x9919998x99

由函数性质可知，函数在(，99)上递减，且y1；函数在(99，＋）上递增且y1

又99(9，10）a10a11a12a301a1a2a9a10最大，a9最小

（二）数列

1. 等差数列的定义与性质

定义：（为常数）， 等差中项：成等差数列 前项和

性质：是等差数列 （1）若，则

（2）数列a2n1,a2n,a2n1仍为等差数列，仍为等差数列，公差为n2d； （3）若三个成等差数列，可设为

（4）若是等差数列，且前项和分别为，则

（5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数）

的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项， 即：当，解不等式组可得达到最大值时的值.

当，由可得达到最小值时的值. (6)项数为偶数2n的等差数列

，有

S2nn(a1a2n)n(a2a2n1)n(anan1)(an,an1为中间两项) S偶S奇nd，

S奇S偶an. an1（7）项数为奇数2n1的等差数列

，

有

S奇S偶n. n1S2n1(2n1)an(an为中间项)，S奇S偶an，

11．等差数列an中，a4a6a8a10a12120,则a9a11的值为(C)

3A．14 B．15 C．16 D．17

11222120解：a9a11a9(a92d)(a9d)a816

3333352．等差数列an中，a10，S9S12，则前 项的和最大。 解：S9S12，S12S90

a10a11a120，3a110，

a110，又a10∴an为递减等差数列∴S10S11为最大。

3．已知等差数列an的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为

，S110S100，成等差数列，公差为D其首项为 解：∵S10，S20S10，S30S20，S10100，前10项的和为S10010

10010109D10，D22 2又S110S100S1010DS1101001010（22）110

n(n1)y50n9812n42n240n982(n10)2102

2所以当n10时，ymax102

4．设等差数列an的前n项和为Sn，已知a312，S120，S130

①求出公差d的范围，

，S12中哪一个值最大，并说明理由。 ②指出S1，S2，danf(n)nanSnan\"n2\"

解：①S126(a1a12)6(a3a10)6(2a37d)0

247d0d24 713(a1a13)1313又S13(a3a11)(2a38d)0

222248d0d3 24从而d37②S126(a6a7)0S1313a70a70，a60S6最大。

5.已知数列是等差数列，，其前10项的和，则其公差等于( D )

A．1C．323B．13 2D．3

6.已知等差数列an中，a7a916，a41，则a12等于（ A ） A．15 B．30 C．31 D．

解：a7a9a4a12a1215

7.设Sn为等差数列an的前n项和，S414，S10S730，则S9=54 8.等差数列an的前n项和记为Sn，已知a1030，a2050 ①求通项an；②若Sn=242，求n 解：ana1(n1)d

a1030，a2050a19d30 解方程组a19d501a121an2n10d2由Snna112nn(n1)d，Sn=242 2n(n1)2242 2解得n11或n22(舍去）9．已知数列an中，a13，前n和Sn①求证：数列an是等差数列 ②求数列an的通项公式

1(n1)(an1)1 21③设数列的前n项和为Tn，是否存在实数M，使得TnM对一切正

anan1整数n都成立？若存在，求M的最小值，若不存在，试说明理由。

1解：①∵Sn(n1)(an1)1

21Sn1(n2)(an11)12an1Sn1Sn1(n2)(an11)(n1)(an1)2整理得，nan1(n1)an1(n1)an2(n2)an11(n1)an2nan1(n2)an1(n1)an

2(n1)an1(n1)(an2an)2an1an2an∴数列an为等差数列。 ②a13，nan1(n1)an1

a22a115a2a12即等差数列an的公差为2

ana1(n1)d3(n1)22n111 anan1(2n1)(2n3)③11122n12n31111111Tn()235572n12n3 12(1132n3)又当nN时，T1n6要使得TnM对一切正整数n恒成立，只要TnM对一切正整数n

都成立，M的最小值为

16。 M≥

16，所以存在实数M使得

2. 等比数列的定义与性质

定义：（为常数，），. 等比中项：成等比数列，或. 前项和：（要注意！） 性质：是等比数列 （1）若，则

（2）仍为等比数列,公比为qn. 注意：由求时应注意什么？

时，；

时，.

例：⑴在等比数列an中，a1a633，a3a432，anan1 ①求an，

②若Tnlga1lga2lgan,求Tn

⑵在等比数列an中，若a150，则有等式

a1a2ana1a2a29n(n29，nN)成立，类比上述性质，相应

的在等比数列bn中，若b191则有等式 成立。 解：⑴①由等比数列的性质可知：

a1a6a3a432又a1a633，a1a6 解得a32，a1

16a111所以6，即q5，qa1323221所以an32()n126n2 ②由等比数列的性质可知，lgan是等差数列，因为

lganlg26n(6n)lg2，lga15lg2 (lga1lgan)nn(11n)所以Tnlg222⑵由题设可知，如果am0在等差数列中有

a1a2ana1a2a2m1n

(n2m1，nN)成立，我们知道，如果若mnpq，则amanapaq，

而对于等比数列bn，则有若mnpq，则amanapaq所以可以得出结论，若

bm1，则有b1b2bnb1b2b2m1n(n2m1，nN)成立，在本题中 则有b1b2bnb1b2b37n(n37，nN)

3．求数列通项公式的常用方法 （1）求差（商）法 例1：数列，，求

解： 时，，∴ 时， ② ①—②得：，∴，∴ ［练习］数列满足，求

解：注意到，代入得又，∴是等比数列，

；

时， （2）叠乘法

例2：数列中，，求 解: ，∴又，∴

.

（3）等差型递推公式

例3：由，求（用迭加法） 解：时，两边相加得

∴

［练习］数列中，，求（） （4）等比型递推公式 例4：（为常数，）

解：可转化为等比数列，设

令，∴，∴是首项为为公比的等比数列

∴，∴ （5）倒数法 例5：，求

解：由已知得：，∴

∴为等差数列，，公差为，∴， ∴

① (附：公式法、利用

anS1(n1)SnSn1(n2)、累加法、累乘法.构造等差或等比

an1panq或an1panf(n)、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归

纳法、换元法)

4. 求数列前n项和的常用方法 (1) 裂项法

把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 例6：是公差为的等差数列，求

解：由 ∴

［练习］求和：

（2）错位相减法

若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项和，可由，求，其中为的公比.

例7： ① 解：

②

①—② 时，，时， （3）倒序相加法

把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加. 相加

［练习］已知，则 解：由∴原式 (附：

a.用倒序相加法求数列的前n项和

如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。 b.用公式法求数列的前n项和

对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。 c.用裂项相消法求数列的前n项和

裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。

d.用错位相减法求数列的前n项和

错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列{an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。 e.用迭加法求数列的前n项和

迭加法主要应用于数列{an}满足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成an+1-an=f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an ，从而求出Sn。 f.用分组求和法求数列的前n项和

所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。

g.用构造法求数列的前n项和

所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。