【13份合集】湖北省13地市2015年中考数学试题(真题)大汇总Word版含答案

2015年中考数学试题（真题）大汇总

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目录

鄂州市2015年初中毕业生学业考试

数学试题

学校：________考生姓名：________ 准考证号： 注意事项：

1．本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟。

2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试题卷上无效。

4．非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试题卷上无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 6．考生不准使用计算器。

一、选择题（每小题3分，共30分） 1．

1的倒数是（ ） 31 A． B．3

3C．－3 D．1 32．某小区居民王先生改进用水设施，在5年内帮助他居住小区的居民累计节水39400吨， 将39400用科学计数法表示(结果保留2个有效数字)应为（ ）

A．3.9³10 4 B．3.94³10 4 C．39.4³10 3 D．4.0³10 4 3．下列运算正确的是（ ） A．a4²a2=a8 B．(a2 )4=a6

C．(ab)2=ab2 D．2a3÷a=2a2

4．为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进行调查，下表是这10户居民

1

2015年4月份用电量的调查结果：

居民（户） 月用电量（度/户） 1 30 2 42 3 50 4 51 那么关于这10户居民月用电量（单位：度），下列说法错误的是（ ） A．中位数是50 B．众数是51 C．方差是42 D．极差是21 5．如图所示的几何体是由一些正方体组合而成的立体图形，则这个几何体的俯视图是 （ ）

第5题图 A B C D

6．如图，AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，EP⊥EF，与∠EFD的平分 线FP相交于点P，且∠BEP=50°，则∠EPF=（ ）度．

D．55

k7．如图，直线y＝x－2与y轴交于点C，与x轴交于点B，与反比例函数y=的图象在

x第一象限交于点A，连接OA，若S△AOB:S△BOC = 1:2，则k的值为（ ） A．2

F

第6题图

O B C 第7题图

x B E 第8题图

C

B．3 C．4 D．6

y A A F

D

A．70

B．65

C．60

8．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE 沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF =（ ）

A．

3 4B．

4 3C．

3 5D．

4 5 9．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的

距离y(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系如图所示．则下列结论： ① A，B两城相距300千米；

2

②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时； ③乙车出发后2.5小时追上甲车； ④当甲、乙两车相距50千米时，t = 其中正确的结论有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个

D．4个

O 300 y (km) 515或． 44甲 乙 ² 1 第9题图

² ² 4 5

t (h) 10．在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1 、D1E1E2B2 、A2B2C2D2 、D2E3E4B3 、A3B3C3D3

„„按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3„„ 在x轴上，已知正方形A1B1C1D1 的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3„„ 则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（ ）

A1 12014y （） A． 212015（） B．232015（） C．

332014（） D．

3B1 D1 O C1 E1 E2 C2 B2 A2 A3 D2 B3 D3 E3 E4 C3 x

二、填空题（每小题3分，共18分）

第10题图

11．若使二次根式2x-4有意义，则x的取值范围是 ． 12．分解因式：a3b－4ab = ． 13．下列命题中正确的个数有 个．

①如果单项式3a4byc与2axb3cz是同类项，那么x= 4， y=3， z=１； ②在反比例函数y=3中，y随x的增大而减小； x ③要了解一批炮弹的杀伤半径，适合用普查方式；

④从－3，－2，2，3四个数中任意取两个数分别作为k，b的值，则直线y=kx+b经

1过第一、二、三象限的概率是．

614．圆锥体的底面周长为6π，侧面积为12π，则该圆锥体的高为 ． 15．已知点P是半径为1的⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且PA=1， AB是⊙O的弦，

AB=2，连接PB，则PB= ．

3

16．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且

OP＝6，当△PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为 ．

A

O

N M

P B

第16题图

三、解答题（17-20每题8分，21-22每题9分，23题10分，24题12分，共72分） 17．（本题满分8分）先化简，再求值：  　，，其中a21． （  2 ）18．（本题满分8分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE． （1）（4分）求证：BE=CE． （2）（4分）求∠BEC的度数．

C

第18题图

D

E

B

A

2a1a2a1aa119．（本题满分8分）八年级（1）班学生在完成课题学习“体质健康测试中的数据分析”

后，利用课外活动时间积极参加体育锻炼，每位同学从篮球、跳绳、立定跳远、长跑、铅球中选一项进行训练，训练后都进行了测试．现将项目选择情况及训练后篮球定时定点投篮测试成绩整理后作出如下统计图．

项目选择人数情况统计图 训练后篮球定时定点投篮测试进球数统计图

请你根据上面提供的信息回答下列问题：

（1）（3分）扇形图中跳绳部分的扇形圆心角为 度，该班共有学生 人， 训练后篮球定时定点投篮平均每个人的进球数是 ．

（2）（5分）老师决定从选择铅球训练的3名男生和1名女生中任选两名学生先进行测

4

篮球50%

跳绳

立定跳远

20%

铅球长跑 10% 10%

试，请用列表或画树形图的方法求恰好选中两名男生的概率．

20.（本题满分8分）关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等实根x1,x2. （1）（4分）求实数k的取值范围．

（2）（4分）若方程两实根x1,x2满足｜x1｜+｜x2｜=x1·x2，求k的值．

21．（本题满分9分）如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度．已知小亮站着

测量 ，眼睛与地面的距离（AB）是1.7米，看旗杆顶部E的仰角为30°；小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离（CD）是0.7米，看旗杆顶部E的仰角为45°. 两人相距5米且位于

E

旗杆同侧（点B、D、F在同一直线上）． （1）（6分）求小敏到旗杆的距离DF．（结果保留根号） （2）（3分）求旗杆EF的高度．（结果保留整数.

参考数据：21.4，31.7）

B A 300

450 C D

第21题图

F

22．（本题满分9分）如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平

分线 BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交 AB于点F． （1）（3分）求证：AE为⊙O的切线．

（2）（3分）当BC=8，AC=12时，求⊙O的半径． （3）（3分）在（2）的条件下，求线段BG的长．

第22题图

23．（本题满分10分）鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千 克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市 场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时 ，

y=80；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元． （1）（3分）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

（2）（3分）求该公司销售该原料日获利w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式．

5

（3）（4分）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？

124．（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=x+2与x 轴交于点A，

2与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x，且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．

（1）（4分）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解+析+式．

（2）（4分）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积

的最大值，并求出此时点P的坐标．

（3）（4分）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、

N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

3x=-

2 第24题图

32y

鄂州市2015年初中毕业生学业考试

数学试题参及评分标准

考生若写出其他正确答案，可参照本标准给分 一、选择题（30分）

1——5 C A D C A 6——10 A B D B D 二、填空题（18分）

6

11、 x2 12、ab(a+2)(a－2) 13、2

14、7 15、1或5 16、363—54

三、解答题（17—20每题8分，21—22每题9分，23题10分，24题12分，共72分） 17、原式=(2a2a1 )a1(a1)(a1)a =

2(a1)(a2)a1

(a1)(a1)a =

3 ………………………………………………… 5′ a1 当a=2－1时， 原式=

32-11＝

32 … …………… …………………………… 28′

A B 18、（1）证明：∵四边形ABCD为正方形

∴AB=AD=CD,∠BAD=∠ ADC=90° ∵三角形ADE为正三角形

∴ AE=AD=DE,∠EAD=∠EDA=60° ∴∠BAE=∠CDE=150° ∴ΔBAE≌ΔCDE

C D ∴BE=CE … ………… ………………………… ……… 4′

(2) ∵AB=AD, AD=AE,

∴AB=AE ∴∠ABE=∠AEB

又 ∵∠BAE=150° ∴∠ABE=∠AEB=15° 同理：∠CED=15°

∴∠BEC=600－15°2=30° ……………………………… 8′ 19、（1）36 ， 40， 5 ………………………………………

3′

E

（2）三名男生分别用A1,A2,A3表示，一名女生用B表示.根据题意，可画树形图如下： 第一名 A1 A2 A3 B

↙ ↓↘ ↙ ↓↘ ↙↓↘ ↙↓↘ ……6′ 第二名 A2 A3 B A1 A3 B A1 A2 B A1 A2 A3

由上图可知，共有12种等可能的结果，选中两名学生恰好是两名男生（记为事件M）

的结果有6种，∴P(M)=

61= ……………………………………… 1228′

20、（1）∵原方程有两个不相等的实数根

∴ Δ＝(2k1)2－（4k2+1)=4k2+4k+1－4k2－4=4k－3﹥0 解得：k﹥

3 ……………………… ……………… 4′ 4 7

(2) ∵k﹥

32

∴ x1+ x2 =－(2k+1)＜0 又∵ x1²x2 = k+1﹥0 4 ∴x1＜0，x2 ＜0 ∴｜x1｜+｜x2｜=－x1－x2 =－(x1+x2)=2k+1

∵｜x1｜+｜x2｜= x1²x2 ∴2k+1=k2+1 ∴ k1=0, k2=2 ………7′

又 ∵k﹥

3 ∴k=2 ………………………………… 8′ 421、（1）过点A作AM⊥EF于点M,过点C作CN⊥EF于点N.设CN= x

在RtΔECN中， ∵∠ECN=45° ∴EN=CN=x ∴EM=x+0.7－1.7=x－1 ∵BD＝5 ∴AM=BF=5+x

在RtΔAEM中， ∵∠EAM=30° ∴

E EM3 ∴ x13(x5) AM33A 300 C 450

M N

解得 x433

D F B

即 DF= 4+33(米) ………… ………………………………………6′ （2）EF= x +0.7=4+ 33+0.7=4+3³1.7+0.7=9.8 ………… ……………………8/ ≈10（米） …………………………9′

C 22、（1）证明：连接OM.

∵AC=AB,AE平分∠BAC ∴AE⊥BC,CE=BE=

1BC=4 2 ∵OB=OM ∴∠OBM=∠OMB M G ∵BM平分∠ABC ∴∠OBM=∠CBM

H ∴∠OMB=∠CBM ∴OM∥DC

B 又 ∵ AE⊥BC ∴AE⊥OM

F

∴AE是⊙O的切线 ……………… …………………………… （2） 设⊙O的半径为R

∵OM∥BE ∴ΔOMA∽ΔBEA

E .O A

3′

∴

OMAOR12R= 即= BEAB412 解得 R=3

∴⊙O的半径为3 ………………………………………… 6′

（3）过点O作OH⊥BG于点H,则BG=2BH ∵ ∠OME=∠MEH= ∠ EHO= 90° ∴四边形OMEH是矩形 ∴HE=OM=3

∴BH=1∴BG＝2BH＝2 ………………………………………………… 9′ 23、（1）设y=kx+b ，根据题意得k280＝60kb解得：

b20010050kb8

∴y=－2x+200 （30 ≤x≤60） ………………………… (2) W=(x－30)(－2x+200)－450

=－2x2+260x－50 ……………………………………………………… (W =－2(x－65）2 +2000) （3）W =－2(x－65）2 +2000 ∵30 ≤x≤60

∴x=60时,w有最大值为1950元

3′

6′

∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元 ………………10′ 24、(1) ①B(1,0) ………………………………………………………1′ ②y=

1x2 当x=0时，y＝2, 当y=0时，x=－4 2 ∴ C(0,2),A(－4,0) ∵抛物线y=ax2+bx+c过A(－4,0), B(1,0) ∴可设抛物线解+析+式为y=a(x+4)(x－1)

又∵抛物线过点C(0,2) ∴2=－4a ∴a=123y ∴y=x2x+2 ……………………… ……………………… 4′ 2P 123 (2)设P（m,m2m+2).

2C 过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q ∴Q(m,

1 21m+2) 21231 ∴PQ=m2m+2－(m+2)

221 =m2－2m

21 ∵SPAC =PQ4

2Q A O B x

=2PQ=－m2－4m=－(m+2)2+4 ∴当m=－2时，ΔPAC的面积有最大值是4 …………………………… X327′ 此时P（－2，3） …… …………………………… 8′

（3）在RtΔAOC中，tan∠CAO=

11 在RtΔBOC中，tan∠BCO= 22 ∴∠CAO=∠BCO ∵∠BCO+∠OBC=90°

∴∠CAO+∠OBC=90° ∴∠ACB=90° ∴ ΔABC∽ΔACO∽ΔCBO

① 当M点与C点重合，即M（0，2）时，ΔMAN∽ΔBAC ……… ② 根据抛物线的对称性，当M(－3,2) 时，ΔMAN∽ΔABC ………

9′ 10′

9

123 ③ 当点M在第四象限时，设M（n,n2n+2），则N(n,0)

213 ∴ MN=n2+n－2 , AN=n+4

22MN11131时，MN=AN 即n2+n－2=(n+4) 当AN22222

n2+2n－8=0 ∴ n1= －4(舍), n2=2

∴M（2，－3） ………………………………………………………… 当

11′

MN213时，MN=2AN n2+n－2=2(n+4) AN122

n2－n－20=0 ∴ n1= －4(舍), n2=5

∴M（5，－18） …………………………………………………………

综上所述：存在M1（0，2）,M2(－3,2), M3（2，－3）,M4（5，－18）, 使得以点 A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似.

12′

湖北省恩施州2015年中考数学试卷

一、选择题（本题共12小题，每小题3分，满分36分，中每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将正确选则项请的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1．﹣5的绝对值是（ ） 5 A．﹣5 B． C． D． ﹣ 考点： 绝对值． 分析： 利用绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 解答： 解：根据负数的绝对值是它的相反数，得|﹣5|=5， 故选D． 点评： 此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 2．恩施气候独特，土壤天然含硒，盛产茶叶，恩施富硒茶叶2013年总产量达000吨，将000用科学记数法表示为（ ） 3545 A．B． C． D． ×10 6.4×10 6.4×10 0.×10 考点： 科学记数法—表示较大的数． n分析： 科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 10

4解答： 解：000=6.4×10， 故选C． n点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．（3分）（2015•恩施州）如图，已知AB∥DE，∠ABC=70°，∠CDE=140°，则∠BCD的值为（ ）

20° 30° 40° 70° A．B． C． D． 考点： 平行线的性质． 分析： 延长ED交BC于F，根据平行线的性质求出∠MFC=∠B=70°，求出∠FDC=40°，根据三角形外角性质得出∠C=∠MFC﹣∠MDC，代入求出即可． 解答： 解： 延长ED交BC于F， ∵AB∥DE，∠ABC=70°， ∴∠MFC=∠B=70°， ∵∠CDE=140°， ∴∠FDC=180°﹣140°=40°， ∴∠C=∠MFC﹣∠MDC=70°﹣40°=30°， 故选B． 点评： 本题考查了三角形外角性质，平行线的性质的应用，解此题的关键是求出∠MFC的度数，注意：两直线平行，同位角相等． 4．（3分）（2015•恩施州）函数y=

+x﹣2的自变量x的取值范围是（ ）

x≥2 x≠2 x≤2 A．B． x＞2 C． D． 考点： 函数自变量的取值范围． 分析： 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围． 解答： 解：根据题意得：x﹣2≥0且x﹣2≠0， 解得：x＞2． 故选：B． 点评： 函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式 11

是二次根式时，被开方数非负． 5．（3分）（2015•恩施州）下列计算正确的是（ ） 25102223237 A．B． C． （﹣x）=﹣x D． （a﹣b）=a﹣b 4x•2x=8x a+a=a 考点： 单项式乘单项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式． 专题： 计算题． 分析： A、原式利用单项式乘单项式法则计算得到结果，即可做出判断； B、原式不能合并，错误； C、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断； D、原式利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断． 5解答： 解：A、原式=8x，错误； B、原式不能合并，错误； C、原式=﹣x，正确； 22D、原式=a﹣2ab+b，错误， 故选C 点评： 此题考查了单项式乘单项式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 6．（3分）（2015•恩施州）某中学开展“眼光体育一小时”活动，根据学校实际情况，如图决定开设“A：踢毽子，B：篮球，C：跳绳，D：乒乓球”四项运动项目（每位同学必须选择一项），为了解学生最喜欢哪一项运动项目，随机抽取了一部分学生进行调查，丙将调查结果绘制成如图的统计图，则参加调查的学生中最喜欢跳绳运动项目的学生数为（ ）

10

240 120 80 40 A．B． C． D． 考点： 条形统计图；扇形统计图． 分析： 根据A项的人数是80，所占的百分比是40%即可求得调查的总人数，然后李用总人数减去其它组的人数即可求解． 解答： 解：调查的总人数是：80÷40%=200（人）， 则参加调查的学生中最喜欢跳绳运动项目的学生数是：200﹣80﹣30﹣50=40（人）． 故选D． 点评： 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 12

7．（3分）（2015•恩施州）如图是一个正方体纸盒的展开图，其中的六个正方形内分别标有数字“0”、“1”、“2”、“5”和汉字、“数”、“学”，将其围成一个正方体后，则与“5”相对的是（ ）

0 2 A．B． C． 数 D． 学 考点： 专题：正方体相对两个面上的文字． 分析： 正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 解答： 解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “数”相对的字是“1”； “学”相对的字是“2”； “5”相对的字是“0”． 故选：A． 点评： 本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题． 8．（3分）（2015•恩施州）关于x的不等式组的取值范围为（ ） m=3 A．B． m＞3 的解集为x＜3，那么m

C． m＜3 m≥3 D． 考点： 解一元一次不等式组． 专题： 计算题． 分析： 不等式组中第一个不等式求出解集，根据已知不等式组的解集确定出m的范围即可． 解答： 解：不等式组变形得：， 由不等式组的解集为x＜3， 得到m的范围为m≥3， 故选D 点评： 此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 9．（3分）（2015•恩施州）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA=3：4，EF=3，则CD的长为（ ）

4 3 A．C． 考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 7 B． 12 D． 13

分析： 由EF∥AB，根据平行线分线段成比例定理，即可求得，则可求得AB的长，又由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边相等，即可求得CD的长． 解答： 解：∵DE：EA=3：4， ∴DE：DA=3：7 ∵EF∥AB， ∴， ∵EF=3， ∴， 解得：AB=7， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD=AB=7． 故选B． 点评： 此题考查了平行线分线段成比例定理与平行四边形的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 10．（3分）（2015•恩施州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且E为OB的中点，∠CDB=30°，CD=4，则阴影部分的面积为（ ）

π A．4π B． C． π D． π 考点： 扇形面积的计算． 分析： 首先证明OE=OC=OB，则可以证得△OEC≌△BED，则S阴影=半圆﹣S扇形OCB，利用扇形的面积公式即可求解． 解答： 解：∵∠COB=2∠CDB=60°， 又∵CD⊥AB， ∴∠OCB=30°，CE=DE， ∴OE=OC=OB=2，OC=4． ∴OE=BE， 则在△OEC和△BED中， ， ∴△OEC≌△BED，

14

∴S阴影=半圆﹣S扇形OCB=． 故选D． 点评： 本题考查了扇形的面积公式，证明△OEC≌△BED，得到S阴影=半圆﹣S扇形OCB是本题的关键． 11．（3分）（2015•恩施州）随着服装市场竞争日益激烈，某品牌服装专卖店一款服装按原售价降价a元后，再次降价20%，现售价为b元，则原售价为（ ） A．B． C． D． （a+b）元 （a+b）元 （b+a）元 （b+a）元 考点： 列代数式． 分析： 可设原售价是x元，根据降价a元后，再次下调了20%后是b元为相等关系列出方程，用含a，b的代数式表示x即可求解． 解答： 解：设原售价是x元，则 （x﹣a）（1﹣20%）=b， 解得x=a+b， 故选A． 点评： 解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解 12．（3分）（2015•恩施州）如图是二次函数y=ax+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论： ①b＞4ac；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2， 其中正确结论是（ ）

2

2

②④ ①④ ①③ ②③ A．B． C． D． 考点： 二次函数图象与系数的关系． 分析： 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 解答： 解：∵抛物线的开口方向向下， ∴a＜0； ∵抛物线与x轴有两个交点， 22∴b﹣4ac＞0，即b＞4ac， 15

故①正确 由图象可知：对称轴x=﹣=﹣1， ∴2a﹣b=0， 故②错误； ∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上， ∴c＞0 由图象可知：当x=1时y=0， ∴a+b+c=0； 故③错误； 由图象可知：当x=﹣1时y＞0， ∴点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2， 故④正确． 故选B 2点评： 此题考查二次函数的性质，解答本题关键是掌握二次函数y=ax+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定． 二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分，不要求写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上） 13．（3分）（2015•恩施州）4的平方根是 ±2 ． 考点： 平方根． 专题： 计算题． 2分析： 根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题． 2解答： 解：∵（±2）=4， ∴4的平方根是±2． 故答案为：±2． 点评： 本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 14．（3分）（2015•恩施州）因式分解：9bxy﹣by= by（3x+y）（3x﹣y） ． 考点： 提公因式法与公式法的综合运用． 专题： 计算题． 分析： 原式提取by，再利用平方差公式分解即可． 22解答： 解：原式=by（9x﹣y）=by（3x+y）（3x﹣y）， 故答案为：by（3x+y）（3x﹣y） 点评： 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 23

16

15．（3分）（2015•恩施州）如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度等于 5π ．

考点： 弧长的计算；旋转的性质． 分析： 根据题意得出球在无滑动旋转中通过的路程为圆弧，根据弧长公式求出弧长即可． 解答： 解：由图形可知，圆心先向前走OO1的长度即圆的周长， 然后沿着弧O1O2旋转圆的周长， 则圆心O运动路径的长度为：×2π×5+×2π×5=5π， 故答案为：5π． 点评： 本题考查的是弧长的计算和旋转的知识，解题关键是确定半圆作无滑动翻转所经过的路线并求出长度． 16．（3分）（2015•恩施州）观察下列一组数：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，…其中每个数n都连续出现n次，那么这一组数的第119个数是 15 ． 考点： 规律型：数字的变化类． 分析： 根据每个数n都连续出现n次，可列出1+2+3+4+…+x=119+1，解方程即可得出答案． 解答： 解：因为每个数n都连续出现n次，可得： 1+2+3+4+…+x=119+1， 解得：x=15， 所以第119个数是15． 故答案为：15． 点评： 此题考查数字的规律，关键是根据题目首先应找出哪哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分，请在大题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（8分）（2015•恩施州）先化简，再求值：•﹣，其中x=2﹣1．

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考点： 分式的化简求值． 专题： 计算题． 分析： 原式第一项约分后，两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 解答： 解：原式=•﹣=﹣=﹣， 当x=2﹣1时，原式=﹣=﹣． 点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．（8分）（2015•恩施州）如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形，连接AG、CE． （1）求证：AG=CE； （2）求证：AG⊥CE．

考点： 全等三角形的判定与性质；正方形的性质． 专题： 证明题． 分析： （1）由正方形的性质得出AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE，得出∠ABG=∠CBE，由SAS证明△ABG≌△CBE，得出对应边相等即可； （2）由△ABG≌△CBE，得出对应角相等∠BAG=∠BCE，由∠BAG+∠AMB=90°，对顶角∠AMB=∠CMN，得出∠BCE+∠CMN=90°，证出∠CNM=90°即可． 解答： （1）证明：∵四边形ABCD、BEFG均为正方形， ∴AB=CB，∠ABC=∠GBE=90°，BG=BE， ∴∠ABG=∠CBE， 在△ABG和△CBE中，， ∴△ABG≌△CBE（SAS）， ∴AG=CE； （2）证明：如图所示：∵△ABG≌△CBE， ∴∠BAG=∠BCE， ∵∠ABC=90°， ∴∠BAG+∠AMB=90°， ∵∠AMB=∠CMN， ∴∠BCE+∠CMN=90°， ∴∠CNM=90°，

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∴AG⊥CE． 点评： 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线的证法；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 19．（8分）（2015•恩施州）质地均匀的小正方体，六个面分别有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”，同时投掷两枚，观察朝上一面的数字． （1）求数字“1”出现的概率；

（2）求两个数字之和为偶数的概率． 考点： 列表法与树状图法． 专题： 计算题． 分析： （1）列表得出所有等可能的情况数，找出数字“1”出现的情况数，即可求出所求的概率； （2）找出数字之和为偶数的情况数，即可求出所求的概率． 解答： 解：（1）列表如下： 1 2 3 4 5 6 1 （1，1） （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） （6，1） 2 （1，2） （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） （6，2） 3 （1，3） （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） （6，3） 4 （1，4） （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） （6，4） 5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） （6，5） 6 （1，6） （2，6） （3，6） （4，6） （5，6） （6，6） 所有等可能的情况有36种，其中数字“1”出现的情况有11种， 则P（数字“1”出现）=； （2）数字之和为偶数的情况有18种， 则P（数字之和为偶数）==． 点评： 此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 20．（8分）（2015•恩施州）如图，某渔船在海面上朝正西方向以20海里/时匀速航行，在A处观测到灯塔C在北偏西60°方向上，航行1小时到达B处，此时观察到灯塔C在北偏西30°方向上，若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置，求此时渔船到灯塔的距离（结果精确到1海里，参考数据：≈1.732）

19

考点： 解直角三角形的应用-方向角问题． 分析： 过点C作CD⊥AB于点D，则若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置为CD的长度，利用锐角三角函数关系进行求解即可． 解答： 解：如图，过点C作CD⊥AB于点D， AB=20×1=20（海里）， ∵∠CAF=60°，∠CBE=30°， ∴∠CBA=∠CBE+∠EBA=120°，∠CAB=90°﹣∠CAF=30°， ∴∠C=180°﹣∠CBA﹣∠CAB=30°， ∴∠C=∠CAB， ∴BC=BA=20（海里）， ∠CBD=90°﹣∠CBE=60°， ∴CD=BC•sin∠CBD=≈17（海里）． 点评： 此题主要考查了方向角问题，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键． 21．（8分）（2015•恩施州）如图，已知点A、P在反比例函数y=（k＜0）的图象上，点B、Q在直线y=x﹣3的图象上，点B的纵坐标为﹣1，AB⊥x轴，且S△OAB=4，若P、Q两点关于y轴对称，设点P的坐标为（m，n）． （1）求点A的坐标和k的值； （2）求

的值．

20

考点： 反比例函数与一次函数的交点问题． 分析： （1）先由点B在直线y=x﹣3的图象上，点B的纵坐标为﹣1，将y=﹣1代入y=x﹣3，求出x=2，即B（2，﹣1）．由AB⊥x轴可设点A的坐标为（2，t），利用S△OAB=4列出方程（﹣1﹣t）×2=4，求出t=﹣5，得到点A的坐标为（2，﹣5）；将点A的坐标代入y=，即可求出k的值； （2）根据关于y轴对称的点的坐标特征得到Q（﹣m，n），由点P（m，n）在反比例函数y=﹣的图象上，点Q在直线y=x﹣3的图象上，得出mn=﹣10，m+n=﹣3，再将变形为，代入数据计算即可． 解答： 解：（1）∵点B在直线y=x﹣3的图象上，点B的纵坐标为﹣1， ∴当y=﹣1时，x﹣3=﹣1，解得x=2， ∴B（2，﹣1）． 设点A的坐标为（2，t），则t＜﹣1，AB=﹣1﹣t． ∵S△OAB=4， ∴（﹣1﹣t）×2=4， 解得t=﹣5， ∴点A的坐标为（2，﹣5）． ∵点A在反比例函数y=（k＜0）的图象上， ∴﹣5=，解得k=﹣10； （2）∵P、Q两点关于y轴对称，点P的坐标为（m，n）， ∴Q（﹣m，n）， ∵点P在反比例函数y=﹣∴n=﹣，n=﹣m﹣3， 的图象上，点Q在直线y=x﹣3的图象上， ∴mn=﹣10，m+n=﹣3， ∴====﹣． 点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，关于y轴对称的点的坐标特征，代数式求值，求出点A的坐标是解决第（1）小题的关键，根据条件得到mn=﹣10，m+n=﹣3是解决第（2）小题的关键． 21

22．（10分）（2015•恩施州）某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料全部生产A、B两种产品共50件，生产A、B两种产品与所需原料情况如下表所示： 原料 甲种原料（千克） 乙种原料（千克） 型号 9 3 A产品（每件） 4 10 B产品（每件） （1）该工厂生产A、B两种产品有哪几种方案？ （2）若生成一件A产品可获利80元，生产一件B产品可获利120元，怎样安排生产可获得最大利润？ 考点： 一次函数的应用；一元一次不等式组的应用． 分析： （1）设工厂可安排生产x件A产品，则生产（50﹣x）件B产品，根据不能多于原料的做为不等量关系可列不等式组求解； （2）可以分别求出三种方案比较即可． 解答： 解：（1）设工厂可安排生产x件A产品，则生产（50﹣x）件B产品 由题意得： ， 解得：30≤x≤32的整数． ∴有三种生产方案：①A30件，B20件；②A31件，B19件；③A32件，B18件； （2）方法一：方案（一）A，30件，B，20件时， 20×120+30×80=4800（元）． 方案（二）A，31件，B，19件时， 19×120+31×80=4760（元）． 方案（三）A，32件，B，18件时， 18×120+32×80=4720（元）． 故方案（一）A，30件，B，20件利润最大． 点评： 本题考查理解题意的能力，关键是根据有甲种原料360千克，乙种原料290千克，做为列出不等式组求解，然后判断B生产的越多，A少的时候获得利润最大，从而求得解． 23．（10分）（2015•恩施州）如图，AB是⊙O的直径，AB=6，过点O作OH⊥AB交圆于点H，点C是弧AH上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA，CE⊥OH，垂足分别为D、E，过点C的直线交OA的延长线于点G，且∠GCD=∠CED． （1）求证：GC是⊙O的切线； （2）求DE的长；

（3）过点C作CF⊥DE于点F，若∠CED=30°，求CF的长．

22

考点： 圆的综合题． 分析： （1）先证明四边形ODCE是矩形，得出∠DCE=90°，DE=OC，MC=MD，得出∠CED+∠MDC=90°，∠MDC=∠MCD，证出∠GCD+∠MCD=90°，即可得出结论； （2）由（1）得：DE=OC=AB，即可得出结果； （3）运用三角函数求出CE，再由含30°角的直角三角形的性质即可得出结果． 解答： （1）证明：连接OC，交DE于M，如图所示： ∵OH⊥AB，CD⊥OA，CE⊥OH， ∴∠DOE=∠OEC=∠ODC=90°， ∴四边形ODCE是矩形， ∴∠DCE=90°，DE=OC，MC=MD， ∴∠CED+∠MDC=90°，∠MDC=∠MCD， ∵∠GCD=∠CED， ∴∠GCD+∠MCD=90°， 即GC⊥OC， ∴GC是⊙O的切线； （2）解：由（1）得：DE=OC=AB=3； （3）解：∵∠DCE=90°，∠CED=30°， ∴CE=DE•cos∠CED=3×∴CF=CE=． =， 点评： 本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角函数、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题有一定难度，综合性强，特别是（1）中，需要证明四边形是矩形，运用角的关系才能得出结论． 24．（12分）（2015•恩施州）矩形AOCD绕顶点A（0，5）逆时针方向旋转，当旋转到如图所示的位置时，边BE交边CD于M，且ME=2，CM=4． （1）求AD的长；

（2）求阴影部分的面积和直线AM的解+析+式；

23

（3）求经过A、B、D三点的抛物线的解+析+式； （4）在抛物线上是否存在点P，使S△PAM=明理由．

？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说

考点： 几何变换综合题． 专题： 综合题． 分析： （1）作BP⊥AD于P，BQ⊥MC于Q，如图1，根据旋转的性质得AB=AO=5，BE=OC=AD，∠ABE=90°，利用等角的余角相等得∠ABP=∠MBQ，可证明Rt△ABP∽Rt△MBQ得到==，设BQ=PD=x，AP=y，则AD=x+y，所以BM=x+y﹣2，利用比例性质得到PB•MQ=xy，而PB﹣MQ=DQ﹣MQ=DM=1，利用完全平方2222公式和勾股定理得到5﹣y﹣2xy+（x+y﹣2）﹣x=1，解得x+y=7，则BM=5，BE=BM+ME=7，所以AD=7； （2）由AB=BM可判断Rt△ABP≌Rt△MBQ，则BQ=PD=7﹣AP，MQ=AP，利用勾222股定理得到（7﹣MQ）+MQ=5，解得MQ=4（舍去）或MQ=3，则BQ=4，根据三角形面积公式和梯形面积公式，利用S阴影部分=S梯形ABQD﹣S△BQM进行计算即可；然后利用待定系数法求直线AM的解+析+式； （3）先确定B（3，1），然后利用待定系数法求抛物线的解+析+式； （4）当点P在线段AM的下方的抛物线上时，作PK∥y轴交AM于K，如图2设P（x，x﹣x+5），则K（x，﹣x+5），则KP=﹣x+到•（﹣x+（，222x，根据三角形面积公式得x）•7=，解得x1=3，x2=，，于是得到此时P点坐标为（3，1）、）的直线l的解+析+式为y=﹣x+），所以AA′=，）；再求出过点（3，1）与（则可得到直线l与y轴的交点A′的坐标为（0，向上平移，然后把直线AM），则个单位得到l′，直线l′与抛物线的交点即为P点，由于A″（0，直线l′的解+析+式为y=﹣x+，再通过解方程组得P点坐标． 解答： 解：（1）作BP⊥AD于P，BQ⊥MC于Q，如图1， ∵矩形AOCD绕顶点A（0，5）逆时针方向旋转得到矩形ABEF，

24

∴AB=AO=5，BE=OC=AD，∠ABE=90°， ∵∠PBQ=90°， ∴∠ABP=∠MBQ， ∴Rt△ABP∽Rt△MBQ， ∴==， 设BQ=PD=x，AP=y，则AD=x+y，BM=x+y﹣2， ∴==， ∴PB•MQ=xy， ∵PB﹣MQ=DQ﹣MQ=DM=1， ∴（PB﹣MQ）=1，即PB﹣2PB•MQ+MQ=1， 2222∴5﹣y﹣2xy+（x+y﹣2）﹣x=1，解得x+y=7， ∴BM=5， ∴BE=BM+ME=5+2=7， ∴AD=7； （2）∵AB=BM， ∴Rt△ABP≌Rt△MBQ， ∴BQ=PD=7﹣AP，MQ=AP， ∵BQ+MQ=BM， 222∴（7﹣MQ）+MQ=5，解得MQ=4（舍去）或MQ=3， ∴BQ=7﹣3=4， ∴S阴影部分=S梯形ABQD﹣S△BQM =×（4+7）×4﹣×4×3 =16； 设直线AM的解+析+式为y=kx+b， 把A（0，5），M（7，4）代入得，解得， 222222∴直线AM的解+析+式为y=﹣x+5； （3）设经过A、B、D三点的抛物线的解+析+式为y=ax+bx+c， ∵AP=MQ=3，BP=DQ=4， ∴B（3，1）， 而A（0，5），D（7，5）， 2∴，解得， ∴经过A、B、D三点的抛物线的解+析+式为y=x﹣x+5； （4）存在．

225

当点P在线段AM的下方的抛物线上时，作PK∥y轴交AM于K，如图2， 设P（x，x﹣x+5），则K（x，﹣x+5）， ∴KP=﹣x+5﹣（x﹣x+5）=﹣x+∵S△PAM=， 2222x， ∴•（﹣x+2x）•7=， ，此时P点坐标为（3，1）、（，）， 整理得7x﹣46x+75，解得x1=3，x2=求出过点（3，1）与（，）的直线l的解+析+式为y=﹣x+）， ，则直线l与y轴的交点A′的坐标为（0，∴AA′=5﹣=， 把直线AM向上平移x+， 个单位得到l′，则A″（0，），则直线l′的解+析+式为y=﹣解方程组得或，此时P点坐标为（，）或（，）、（，，）， ）、综上所述，点P的坐标为（3，1）、（（，）． 26

点评： 本题考查了几何变换综合题：熟练掌握旋转的性质、矩形的性质和三角形全等于相似的判定与性质；会利用待定系数法求函数解+析+式；理解坐标与图形性质；会进行代数式的变形．

黄冈市2015年初中毕业生学业水平考试

数学试题 第Ⅰ卷（选择题共21 分）

一、选择题（下列各题的备选答案中，有且仅有一个答案是正确的，每小题3 分，共21 分） 1.（3 分）（2015•黄冈）9 的平方根是( ) A.±3 B.±

考点：平方根．

分析：根据平方根的含义和求法，可得9 的平方根是： ±9 =±3 ，据此解答即可． 解答：解：9 的平方根是： ±9 =±3 ．

故选：A．

点评：此题主要考查了平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个 正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．

2.（3 分）（2015•黄冈）下列运算结果正确的是( ) A.x6÷x2=x3 B.(-x)-1=

1 C.3 D.-3 31 C. (2x3)2=4x6 D.-2a2²a3=-2a6 x

考点：同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式；负整数指数幂． 分析：根据同底数幂的除法、幂的乘方、单项式的乘法计算即可． 解答：解：A、x6÷x2=x4 ，错误； B、(-x)-1=﹣

1 ，错误； x27

C、(2x3)2=4x6 ，正确； D 、-2a2²a3=-2a5，错误； 故选C

点评：此题考查同底数幂的除法、幂的乘方、单项式的乘法，关键是根据法则进行计算．

3.（3 分）（2015•黄冈）如图所示，该几何体的俯视图是( )

考点：简单组合体的三视图．

分析：根据从上面看得到的视图是俯视图，可得答案．

解答：解：从上面看是一个正方形，在正方形的左下角有一个小正方形． 故选：B．

点评：本题考查了简单组合体的三视图，从上面看的到的视图是俯视图．

4.（3 分）（2015•黄冈）下列结论正确的是( ) A.3a2b-a2b=2

B.单项式-x2的系数是-1

C.使式子x2有意义的x 的取值范围是x>-2

a21

D.若分式的值等于0,则a=±1

a1

考点：二次根式有意义的条件；合并同类项；单项式；分式的值为零的条件．

分析：根据合并同类项，可判断A；根据单项式的系数是数字因数，可判断B；根据二次根 式的被开方数是非负数，可判断C；根据分式的分子为零分母不为零，可判断D ． 解答：解：A、合并同类项系数相加字母部分不变，故A 错误； B、单项式-x2的系数是﹣1，故B 正确；

C、式子x2有意义的x 的取值范围是x ＞﹣2 ，故C 错误；

a21

D 、分式 的值等于0，则a=1，故D 错误；

a1

故选：B． 点评：本题考查了二次根是有意义的条件，二次根式有意义的条件是分式的分子为零分母不 为零，二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．

5.（3 分）（2015•黄冈）如图，a∥b,∠1=∠2,∠3=40°,则∠4 等于( ) A.40° B.50° C.60° D.70°

28

考点：平行线的性质．

分析：先根据平行线的性质求出∠1+∠2 的度数，再由∠1=∠2 得出∠2 的度数，进而 可得 出结论．

解答：解：∵a ∥b ，∠3=40°，

∴∠1+∠2=180°﹣40°=140°，∠2= ∠4 ． ∵∠1=∠2 ， ∴∠2=

1 ³140°=70°， 2 ∴∠4= ∠2=70°． 故选D ．

点评：本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．

6.（3 分）（2015•黄冈）如图，在△ABC 中，∠C=Rt∠，∠B=30°，边AB 的垂直平分线DE 交AB 于点E，交BC 于点D，CD=3，则BC 的长为( ) A.6 B63. C.9 D. 33

考点：含30 度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．

分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等可得AD=BD ，可得∠DAE=30°，易

得∠ADC=60°，∠CAD=30°，则AD 为∠BAC 的角平分线，由角平分线的性质得

DE=CD=3 ，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2DE，得

结果．

解答：解：∵DE 是AB 的垂直平分线， ∴AD=BD ，

∴∠DAE= ∠B=30°， ∴∠ADC=60°， ∴∠CAD=30°，

∴AD 为∠BAC 的角平分线， ∵∠C=90°，DE ⊥AB， ∴DE=CD=3 ， ∵∠B=30°， ∴BD=2DE=6 ， ∴BC=9 ， 故选C．

29

点评：本题主要考查了垂直平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直 角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．

7.（3 分）（2015•黄冈）货车和小汽车同时从甲地出发,以各自的速度匀速向乙地行驶,小汽车到达乙地后,立即以相同的速度沿原路返回甲地.已知甲、乙两地相距180 千米，货车的速度为60 千米/小时,小汽车的速度为90 千米/小时,则下图中能分别反映出货车、小汽车离乙地的距离y(千米)与各自行驶时间t(小时)之间的函数图象是( )

考点：函数的图象．

分析：根据出发前都距离乙地 180 千米，出发两小时小汽车到达乙地距离变为零，再经过两

小时小汽车又返回甲地距离又为180 千米；经过三小时，货车到达乙地距离变为零， 而答案．

解答：解：由题意得

出发前都距离乙地180 千米，出发两小时小汽车到达乙地距离变为零，再经过两小时

小汽车又返回甲地距离又为180 千米，经过三小时，货车到达乙地距离变为零，故C 符合题意， 故选：C．

点评：本题考查了函数图象，理解题意并正确判断辆车与乙地的距离是解题关键．

第Ⅱ卷（非选择题共99 分）

二、填空题（共7 小题，每小题3 分,共21 分） 8.（3 分）（2015•黄冈）计算：182=_______

考点：二次根式的加减法．菁优网版权所有

分析：先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案． 解答：解：182 =322 =22 ． 故答案为：2

2 ．

点评：本题考查二次根式的减法运算，难度不大，注意先将二次根式化为最简是关键．

30

9.（3 分）（2015•黄冈）分解因式：x3-2x2+x=________

考点：提公因式法与公式法的综合运用．

分析：首先提取公因式x ，进而利用完全平方公式分解因式即可． 解答： 解：x3-2x2+x=x（x2 ﹣2x+1 ）=x（x ﹣1）2 ． 故答案为：x（x ﹣1）2 ． 点评：此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关 键．

10.（3 分）（2015•黄冈）若方程x2-2x-1=0 的两根分别为x1，x2，则x1+x2-x1x2的 值为_________.

考点：根与系数的关系． 专题：计算题．

分析：先根据根与系数的关系得到x1 +x2 =2 ，x1 x2 = ﹣1，然后利用整体代入的方法计算． 解答：解：根据题意得x1 +x2 =2 ，x1 x2 = ﹣1， 所以x1+x2-x1x2 =2 ﹣（﹣1）=3 ． 故答案为3 ．

点评：本题考查了根与系数的关系：若x1 ，x2 是一元二次方程ax2 + bx + c=0 （a≠0 ）的两根时， x1 +x2 =

11.（3 分）（2015•黄冈）计算

bc ，x1 x2 =

aaba(1)的结果是_________. 22abab

考点：分式的混合运算． 专题：计算题．

分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约 分即可得到结果． 解答： 解：原式=

故答案为： ．

点评：此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

12.（3 分）（2015•黄冈）如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点,BF 与AC 交于点E,若∠CBF=20°，则∠AED 等于_________度.

31

考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有 分析：根据正方形的性质得出∠BAE= ∠DAE，再利用SAS 证明△ ABE 与△ ADE 全等，再

利用三角形的内角和解答即可． 解答：解：∵正方形ABCD ，

∴AB=AD ，∠BAE= ∠DAE， 在△ABE 与△ADE 中，

，

∴△ABE≌△ADE （SAS ），

∴∠AEB= ∠AED ，∠ABE= ∠ADE， ∵∠CBF=20°， ∴∠ABE=70°，

∴∠AED= ∠AEB=180°﹣45°﹣70°=65°， 故答案为：65°

点评：此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质得出∠BAE= ∠DAE，再利用全等

三角形的判定和性质解答．

13. （3 分）（2015•黄冈）如图所示的扇形是一个圆锥的侧面展开图, 若∠AOB=120° , 弧AB 的长为12πcm, 则该圆锥的侧面积为_______cm2.

考点：圆锥的计算．

分析：首先求得扇形的母线长，然后求得扇形的面积即可． 解答：解：设AO=B0=R ，

∵∠AOB=120°，弧AB 的长为12πcm ， ∴

120R =12π， 18011lR= ³12π³18=108π， 22 解得：R=18 ， ∴圆锥的侧面积为

故答案为：108π．

点评：本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记圆锥的有关计算公式，难度不大．

14. （3 分）（2015•黄冈）在△ ABC 中,AB=13cm,AC=20cm,BC 边上的高为12cm,则△ABC

32

的面积为__________cm2.

考点：勾股定理．菁优网版权所有

分析：此题分两种情况：∠B 为锐角或∠B 为钝角已知AB、AC 的值，利用勾股定理即可求

出BC 的长，利用三角形的面积公式得结果． 解答：解：当∠B 为锐角时（如图 1）， 在Rt△ABD 中， BD=

在Rt△ADC 中， CD=

∴BC=21 ， ∴S△ ABC=

=

=16cm ， =5cm ，

1 ³21³12=126cm ； 2 当∠B 为钝角时（如图2 ）， 在Rt△ABD 中， BD=

在Rt△ADC 中， CD=

=16cm ， =5cm ，

∴BC=CD ﹣BD=16 ﹣5=11cm， ∴S△ ABC=

=

1³11³12=66cm ， 2 故答案为：126 或66 ．

点评：本题主要考查了勾股定理和三角形的面积公式，画出图形，分类讨论是解答此题的关 键．

三、解答题（本大题共10 小题，满分共78 分）

2x3x215.（5分）（2015•黄冈）解不等式组：2x112

x323

考点：解一元一次不等式组．

分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 解答：解：由①得，x ＜2 ，由②得，x≥ ﹣2 ， 故不等式组的解集为：﹣2≤x ＜2 ．

点评：本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找； 大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

33

16.（6分）（2015•黄冈）已知A,B两件服装的成本共500元，鑫洋服装店老板分别以30%和20%的利润率定价后进行销售，该服装店共获利130 元，问A,B 两件服装的成本各是多少元？

考点：二元一次方程组的应用．

分析：设A 服装成本为x 元，B 服装成本y 元，由题意得等量关系：①成本共500 元；②

共获利 130 元，根据等量关系列出方程组，再解即可．

解答：解：设A 服装成本为x 元，B 服装成本y 元，由题意得：

，

解得： ，

答：A 服装成本为300 元，B 服装成本200 元．

点评：此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关 系，列出方程组．

17.（6 分）（2015•黄冈）已知:如图，在四边形ABCD 中，AB ∥ CD,E,F 为对角线 AC 上两点，且AE=CF，DF∥BE.

求证：四边形ABCD 为平行四边形.

考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质． 专题：证明题．

分析：首先证明△AEB≌△CFD 可得AB=CD ，再由条件AB∥CD 可利用一组对边平行且相

等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD 为平行四边形． 解答：证明：∵AB∥CD， ∴∠DCA= ∠BAC， ∵DF ∥BE，

∴∠DFA= ∠BEC， ∴∠AEB= ∠DFC，

在△AEB 和△ CFD 中，

∴△AEB≌△CFD （ASA）， ∴AB=CD ， ∵AB∥CD，

∴四边形ABCD 为平行四边形． 点评：此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行 四边形．

34

18.（7分）（2015•黄冈）在某电视台的一档选秀节目中，有三位评委，每位评委在选手完成才艺表演后，出示“ 通过”(用√表示)或“ 淘汰”(用³表示)的评定结果.节目组规定：每位选手至少获得两位评委的“通过”才能晋级.

(1)请用树形图列举出选手A 获得三位评委评定的各种可能的结果； (2)求选手A 晋级的概率.

考点：列表法与树状图法． 分析：（1）利用树状图列举出所有可能即可，注意不重不漏的表示出所有结果；

（2 ）列举出所有情况，让至少有两位评委给出“通过”的结论的情况数除以总情况数

即为所求的概率． 解答：解：（1）画出树状图来说明评委给出A 选手的所有可能结果：

；

（2 ）∵由上可知评委给出A 选手所有可能的结果有8 种．并且它们是等可能的，对

于A 选手，晋级的可能有4 种情况， ∴对于A 选手，晋级的概率是：

1 ． 2点评：本题主要考查了树状图法求概率．树状图法可以不重不漏地列举出所有可能发生的情 况，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情 况数之比．

19.（7 分）（2015•黄冈）“ 六一”儿童节前夕，蕲黄县教育局准备给留守儿童赠送一批学习用品，先对浠泉镇浠泉小学的留守儿童人数进行抽样统计,发现各班留守儿童人数分别为6 名,7 名,8 名,10 名,12 名这五种情形,并将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图.

35

请根据上述统计图,解答下列问题：

(1)该校有多少个班级?并补全条形统计图;

(2)该校平均每班有多少名留守儿童?留守儿童人数的众数是多少？

(3)若该镇所有小学共有60 个教学班,请根据样本数据,估计该镇小学生中,共有多少名留守儿童.

考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；加权平均数． 分析：（1）根据有7 名留守儿童班级有2 个，所占的百分比是 12.5%，即可求得班级的总 个数；

（2 ）利用平均数的计算公式求得每班的留守儿童数，然后根据众数的定义，就是出

现次数最多的数确定留守儿童的众数；

（3 ）利用班级数60 乘以（2 ）中求得的平均数即可． 解答：解：（1）该校的班级数是：2÷ 12.5%=16 （个）． 则人数是8 名的班级数是：16 ﹣1 ﹣2 ﹣6 ﹣2=5 （个）．

（2 ）每班的留守儿童的平均数是： 众数是

10 名；

36

；

1（1³6+2³7+5³8+6³10+12³2 ）=9 （人），16 （3 ）该镇小学生中，共有留守儿童60³9=540 （人）． 答：该镇小学生有留守儿童540 人．

点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中 得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇 形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

20.(7 分)（2015•黄冈）如图,在一次军事演习中,蓝方在一条东西走向的公路上的A 处朝正南方向撤退,红方在公路上的B 处沿南偏西60°方向前进实施拦截.红方行驶1000 米到达C 处后,因前方无法通行,红方决定调整方向,再朝南偏西45°方向前进了相同的距离,刚好在D 处成功拦截蓝方.求拦截点D 处到公路的距离(结果不取近似值).

考点：解直角三角形的应用-方向角问题．

分析：过B 作AB 的垂线，过C 作AB 的平行线，两线交于点E； 过C 作AB 的垂线，过D

作AB 的平行线，两线交于点F ，则∠E= ∠F=90°，拦截点D 处到公路的距离 DA=BE+CF ．解Rt△ BCE，求出BE=出 CF=

11BC=³1000=500 米；解Rt△ CDF ，求222CD=5002 米，则DA=BE+CF=（500+5002）米． 2解答：解：如图，过B 作AB 的垂线，过C 作AB 的平行线，两线交于点E；过C 作AB 的

垂线，过D 作AB 的平行线，两线交于点F ，则∠E= ∠F=90°，拦截点D 处到公路的

距离DA=BE+CF ．

在Rt△ BCE 中，∵∠E=90°，∠CBE=60°， ∴∠BCE=30°， ∴BE=

11BC=³1000=500 米； 22 在Rt△ CDF 中，∵∠F=90°，∠DCF=45°，CD=AB=1000 米， ∴CF=

2 CD=5002 米， 2 ∴DA=BE+CF= （500+5002）米， 故拦截点D 处到公路的距离是（500+500

2 ）米．

点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，锐角三角函数的定义，正确理解方向

角的定义，进而作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．

21.（ 8分）（2015•黄冈）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AC

37

为直径的⊙O 交AB 于点M，交BC 于点N，连接AN,过点C 的切线交AB 的延长线于点P.

（1）求证：∠BCP=∠BAN; （2）求证：

AMCB MNBP

考点：切线的性质；相似三角形的判定与性质． 专题：证明题． 分析：（1）由AC 为⊙O 直径，得到∠NAC+ ∠ACN=90°，由AB=AC，得到∠BAN= ∠CAN，

根据PC 是⊙O 的切线，得到∠ACN+ ∠PCB=90°，于是得到结论．

（2 ）由等腰三角形的性质得到∠ABC= ∠ACB，根据圆内接四边形的性质得到 ∠PBC= ∠AMN ，证出△ BPC∽△MNA，即可得到结论． 解答：（1）证明：∵AC 为⊙O 直径， ∴∠ANC=90°，

∴∠NAC+ ∠ACN=90°， ∵AB=AC，

∴∠BAN= ∠CAN， ∵PC 是⊙O 的切线， ∴∠ACP=90°，

∴∠ACN+ ∠PCB=90°， ∴∠BCP= ∠CAN， ∴∠BCP= ∠BAN ； （2 ）∵AB=AC， ∴∠ABC= ∠ACB，

∵∠PBC+ ∠ABC= ∠AMN+ ∠ACN=180°， ∴∠PBC= ∠AMN ，

由（1）知∠BCP= ∠BAN ， ∴△BPC∽△MNA， ∴

AMCB ． MNBP点评：本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质， 圆内接四边形的性质，解此题的关键是熟练掌握定理．

22.（8 分）（2015•黄冈）如图，反比例函数y=0) 与双曲线y=

k的图象经过点A（-1,4),直线y=-x + b(b≠xk在第二、四象限分别相交于P，Q 两点，与x轴、y 轴分别x相交于C,D 两点. (1)求k 的值;

(2)当b=-2 时，求△OCD 的面积；

(3)连接OQ，是否存在实数b,使得S△ODQ=S△OCD？ 若存在，请求出b 的值；若不存在，请说明理由.

38

考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 专题：计算题． 分析：（1）根据反比例函数的图象上点的坐标特征易得k= ﹣4 ；

（2 ）当b= ﹣2 时，直线解+析+式为y= ﹣x ﹣2 ，则利用坐标轴上点的坐标特征可求出C

（﹣2 ，0 ），D （0，﹣2 ），然后根据三角形面积公式求解； （3 ）先表示出C （b ，0 ），根据三角形面积公式，由于S△ ODQ=S△ OCD ，所以点

Q 和 点C 到OD 的距离相等，则Q 的横坐标为（﹣b ，0 ），利用直线解+析+式可得到Q （﹣ b ，2b ），再根据反比例函数的图象上点的坐标特征得到﹣b •2b= ﹣4 ，然后解方程即可

得到满足条件的b 的值． 解答： 解：（1）∵反比例函数y=

k 的图象经过点A （﹣1，4 ）， x ∴k= ﹣1³4= ﹣4 ；

（2 ）当b= ﹣2 时，直线解+析+式为y= ﹣x ﹣2 ， ∵y=0 时，﹣x ﹣2=0 ，解得x= ﹣2 ， ∴C （﹣2 ，0 ），

∵当x=0 时，y= ﹣x ﹣2= ﹣2 ， ∴D （0，﹣2 ）， ∴S△ OCD=

1³2³2=2 ； 2 （3 ）存在．

当y=0 时，﹣x+b=0 ，解得x=b ，则C （b ，0 ）， ∵S△ ODQ=S△ OCD，

∴点Q 和点C 到OD 的距离相等， 而Q 点在第四象限， ∴Q 的横坐标为﹣b ，

当x= ﹣b 时，y= ﹣x+b=2b ，则Q （﹣b ，2b ）， ∵点Q 在反比例函数y= ﹣

4 的图象上， x ∴﹣b •2b= ﹣4 ，解得b= ﹣2 或b=2（舍去）， ∴b 的值为﹣2 ．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把 两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两 者无交点．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式．

23.（10 分）（2015•黄冈）我市某风景区门票价

39

格如图所示黄冈赤壁旅游公司有甲、乙两个旅行团队,计划在“五一”小黄金周期间到该景点游玩，两团队游客人数之和为120 人，乙团队人数不超过50 人.设甲团队人数为x 人,如果甲、乙两团队分别购买门票,两团队门票款之和为W 元. (1)求W 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

(2)若甲团队人数不超过100 人，请说明甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约多少钱；

(3“) 五一”小黄金周之后，该风景区对门票价格作了如下调整：人数不超过50 人时，门票价格不变；人数超过50 人但不超过100 人时，每张门票降价a 元;人数超过100 人时，每张门票降价2a 元.在（2）的条件下，若甲、乙两个旅行团队“五一”小黄金周之后去游玩，最多可节约3400 元，求a 的值.

考点：一次函数的应用；一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用． 分析：（1）根据甲团队人数为x 人，乙团队人数不超过50 人，得到x≥70，分两种情况： ①当70≤x≤100 时，W=70x+80 （120 ﹣x ）= ﹣10x+9600，②当100＜x ＜120 时， W=60x+80 （120 ﹣x ）= ﹣20x+9600 ，即可解答；

（2 ）根据甲团队人数不超过100 人，所以x≤100，由W= ﹣10x+9600，根据70≤x≤100，

利用一次函数的性质，当x=70 时，W 最大=00 （元），两团联合购票需120³60=7200 （元），即可解答； （3 ）根据每张门票降价a 元，可得W= （70 ﹣a ）x+80 （120 ﹣x ）= ﹣（a+10 ）x+9600 ，

利用一次函数的性质，x=70 时，W 最大= ﹣70a+00 （元），而两团联合购票需120 （60 ﹣2a ）=7200 ﹣240a （元），所以﹣70a+00 ﹣（7200 ﹣240a ）=3400，即可解答． 解答：解：（1）∵甲团队人数为x 人，乙团队人数不超过50 人， ∴120 ﹣x≤50， ∴x≥70，

①当70≤x≤100 时，W=70x+80 （120 ﹣x ）= ﹣10x+9600， ②当100＜x ＜120 时，W=60x+80 （120 ﹣x ）= ﹣20x+9600 ，

综上所述，W= （2 ）∵甲团队人数不超过100 人， ∴x≤100，

∴W= ﹣10x+9600， ∵70≤x≤100，

∴x=70 时，W 最大=00 （元）， 两团联合购票需 120³60=7200 （元）， ∴最多可节约00 ﹣7200=1700 （元）． （3 ）∵x≤100，

∴W= （70 ﹣a ）x+80 （120 ﹣x ）= ﹣（a+10 ）x+9600 ， ∴x=70 时，W 最大= ﹣70a+00 （元），

两团联合购票需 120 （60 ﹣2a ）=7200 ﹣240a （元）， ∵﹣70a+00 ﹣（7200 ﹣240a ）=3400 ，

40

解得：a=10 ．

点评：本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意，列出函数解+析+式，利用一

次函数的性质求得最大值．注意确定x 的取值范围．

24.（14 分）（2015•黄冈）如图，在矩形OABC 中，OA=5，AB=4，点D 为边AB 上一点,将△BCD 沿直线CD 折叠,使点B 恰好落在OA边上的点E 处，分别以OC，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系. (1)求OE 的长；

(2)求经过O，D，C 三点的抛物线的解+析+式； (3)一动点P 从点C 出发，沿CB 以每秒2 个单位长的速度向点B 运动，同时动点Q 从E 点出发，沿EC 以每秒1 个单位长的速度向点C 运动，当点P 到达点B 时，两点同时停止运动.设运动时间为t 秒，当t为何值时，DP=DQ；

(4) 若点N 在(2)中的抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上,是否存在这样的点M与点N，使得以M，N，C，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M 点的坐标;若不存在，请说明理由.

考点：二次函数综合题． 分析：（1）由折叠的性质可求得CE、CO，在Rt△ COE 中，由勾股定理可求得OE，设AD=m ，

在Rt△ADE 中，由勾股定理可求得m 的值，可求得D 点坐标，结合C、O 两点，利

用待定系数法可求得抛物线解+析+式；

（2 ）用t 表示出CP 、BP 的长，可证明△ DBP ≌△DEQ ，可得到BP=EQ ，可求得t

的值；

（3 ）可设出N 点坐标，分三种情况①EN 为对角线，②EM 为对角线，③EC 为对

角线，根据平行四边形的性质可求得对角线的交点横坐标，从而可求得M 点的横坐 标，再代入抛物线解+析+式可求得M 点的坐标． 解答：解：（1）∵CE=CB=5，CO=AB=4， ∴在Rt△ COE 中，OE=

=3 ，

设AD=m ，则DE=BD=4 ﹣m ， ∵OE=3，

∴AE=5 ﹣3=2，

在Rt△ADE 中，由勾股定理可得AD2 +AE2 =DE2 ，即m2 +22 = （4 ﹣m ）2 ，

3 ， 23 ∴D （﹣，﹣5 ），

2 解得m=

∵C （﹣4 ，0 ），O （0，0 ），

∴设过O、D 、C 三点的抛物线为y=ax（x+4 ），

41

334 a （﹣+4 ），解得a= ， 2234416 ∴抛物线解+析+式为y=x （x+4 ）= x2 + x ；

333 ∴﹣5= ﹣

（2 ）∵CP=2t ，

∴BP=5 ﹣2t ，

在Rt△ DBP 和Rt△ DEQ 中，

，

∴Rt△ DBP ≌Rt△ DEQ （HL ）， ∴BP=EQ ， ∴5 ﹣2t=t ， ∴t=

5 ； 3 （3 ）∵抛物线的对称为直线x= ﹣2 ， ∴设N（﹣2 ，n ），

又由题意可知C （﹣4 ，0 ），E （0，﹣3 ）， 设M （m ，y ），

①当EN 为对角线，即四边形ECNM 是平行四边形时，

则线段EN 的中点横坐标为 ∵EN，CM 互相平分，

= ﹣1，线段CM 中点横坐标为，

∴ = ﹣1，解得m=2 ，

又M 点在抛物线上， ∴y=

42 16x + x=16 ， 33 ∴M （2 ，16）；

②当EM 为对角线，即四边形ECMN 是平行四边形时，

则线段EM 的中点横坐标为﹣3，

∵EN，CM 互相平分，

，线段CN 中点横坐标为 =

∴ = ﹣3，解得m= ﹣6，

又∵M 点在抛物线上， ∴y=

416³ （﹣6 ）2 + ³ （﹣6 ）=16 ， 33 ∴M （﹣6，16）；

③当CE 为对角线，即四边形EMCN 是平行四边形时，

42

则M 为抛物线的顶点，即M （﹣2 ，﹣

16 ）． 316 ）． 3 综上可知，存在满足条件的点M，其坐标为（2 ，16）或（﹣6，16）或（﹣2 ，﹣

点评：本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、折 叠的性质、

平行四边形的性质等知识点．在（1）中求得D 点坐标是解题的关键，在 （2 ）中证得全等，得

到关于t 的方程是解题的关键，在（3 ）中注意分类讨论思想的应用．本题考查知识点较多，综

合性较强，难度适中．

湖北省黄石市2015年中考数学试卷

一.仔细选一选（每小题3分，共30分每小题的四个选项中只有一个是正确的） 1．（3分）（2015•黄石）﹣5的倒数是（ ） 5 A．B． C． ﹣5 D． 考点： 倒数． 分析： 乘积是1的两数互为倒数，所以﹣5的倒数是﹣． 解答： 解：﹣5与﹣的乘积是1， 所以﹣5的倒数是﹣． 故选D． 点评： 本题主要考查倒数的概念：乘积是1的两数互为倒数． 2．（3分）（2015•黄石）国家统计局数据显示，截至2014年末全国商品房待售面积约为62200万平方米，该数据用科学记数法可表示为（ ） 47 A．B． C． D． 6.22×10 6.22×10 6.22×10 6.22×10 考点： 科学记数法—表示较大的数． n分析： 科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 8解答： 解：将62200万用科学记数法表示为6.22×10． 故选C n点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．（3分）（2015•黄石）下列运算正确的是（ ）

43

A．4m﹣m=3 235B． 2m•m=2m 329C． （﹣m）=m D． ﹣（m+2n）=﹣m+2n 考点： 单项式乘单项式；合并同类项；去括号与添括号；幂的乘方与积的乘方． 分析： 分别利用合并同类项法则以及单项式乘以单项式运算法则和幂的乘方、去括号法则化简各式判断即可． 解答： 解：A、4m﹣m=3m，故此选项错误； B、2m•m=2m，正确； 326C、（﹣m）=m，故此选项错误； D、﹣（m+2n）=﹣m﹣2n，故此选项错误； 故选：B． 点评： 此题主要考查了合并同类项法则以及单项式乘以单项式运算法则和幂的乘方、去括号法则等知识，正确掌握运算法则是解题关键． 4．（3分）（2015•黄石）下列四个立体图形中，左视图为矩形的是（ ）

235①③ ①④ ②③ A．B． C． 考点： 简单几何体的三视图． 分析： 根据左视图是分别从物体左面看，所得到的图形，即可解答． 解答： 解：长方体左视图为矩形；球左视图为圆；圆锥左视图为三角形；圆柱左视图为矩形； 因此左视图为矩形的有①④． 故选：B． 点评： 本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中． 5．（3分）（2015•黄石）某班组织了一次读书活动，统计了10名同学在一周内的读书时间，他们一周内的读书时间累计如表，则这10名同学一周内累计读书时间的中位数是（ ）

8 10 14 一周内累计的读书5 时间（小时） 1 4 3 2 人数（个） 8 7 9 10 A．B． C． D． 考点： 中位数． 分析： 根据中位数的概念求解． 解答： 解：∵共有10名同学， ∴第5名和第6名同学的读书时间的平均数为中位数， ③④ D． 则中位数为：=9． 44

故选C． 点评： 本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 6．（3分）（2015•黄石）在下列艺术字中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A．B． C． D． 考点： 中心对称图形；轴对称图形． 分析： 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 解答： 解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误； D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确． 故选D． 点评： 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 7．（3分）（2015•黄石）在长方形ABCD中AB=16，如图所示裁出一扇形ABE，将扇形围成一个圆锥（AB和AE重合），则此圆锥的底面半径为（ ）

4 16 8 A．B． C． D． 4 考点： 圆锥的计算． 分析： 圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长=扇形的弧长，列方程求解． 解答： 解：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得 2πr=， 解得r=4． 故小圆锥的底面半径为4； 故选A． 点评： 本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1、圆锥的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长． 45

8．（3分）（2015•黄石）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（ ）

36° 54° 18° ° A．B． C． D． 考点： 等腰三角形的性质． 分析： 根据等腰三角形的性质由已知可求得∠A的度数，再根据垂直的定义和三角形内角和定理不难求得∠ABD的度数． 解答： 解：∵AB=AC，∠ABC=72°， ∴∠ABC=∠ACB=72°， ∴∠A=36°， ∵BD⊥AC， ∴∠ABD=90°﹣36°=54°． 故选：B． 点评： 本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般． 9．（3分）（2015•黄石）当1≤x≤2时，ax+2＞0，则a的取值范围是（ ） A．a＞﹣1 B． a＞﹣2 C． a＞0 D． a＞﹣1且a≠0 考点： 不等式的性质． 分析： 当x=1时，a+2＞0；当x=2，2a+2＞0，解两个不等式，得到a的范围，最后综合得到a的取值范围． 解答： 解：当x=1时，a+2＞0 解得：a＞﹣2； 当x=2，2a+2＞0， 解得：a＞﹣1， ∴a的取值范围为：a＞﹣1． 点评： 本题考查了不等式的性质，解决本题的关键是熟记不等式的性质． 10．（3分）（2015•黄石）如图是自行车骑行训练场地的一部分，半圆O的直径AB=100，在半圆弧上有一运动员C从B点沿半圆周匀速运动到M（最高点），此时由于自行车故障原地停留了一段时间，修理好继续以相同的速度运动到A点停止．设运动时间为t，点B到直线OC的距离为d，则下列图象能大致刻画d与t之间的关系是（ ）

46

A． B． C． D． 考点： 动点问题的函数图象． 分析： 设运动员C的速度为v，则运动了t的路程为vt，设∠BOC=α，当点C从运动到M时，当点C从M运动到A时，分别求出d与t之间的关系即可进行判断． 解答： 解：设运动员C的速度为v，则运动了t的路程为vt， 设∠BOC=α， 当点C从运动到M时， ∵vt=∴α=， =， 在直角三角形中，∵d=50sinα=50sin∴d与t之间的关系d=50sint， =50sint， 当点C从M运动到A时，d与t之间的关系d=50sin（180﹣t）， 故选C． 点评： 本题考查的是动点问题的函数图象，熟知圆的特点是解答此题的关键． 二.认真填一填（每小题3分，共18分）

2

11．（3分）（2015•黄石）分解因式：3x﹣27= 3（x+3）（x﹣3） ． 考点： 提公因式法与公式法的综合运用． 专题： 因式分解． 22分析： 观察原式3x﹣27，找到公因式3，提出公因式后发现x﹣9符合平方差公式，利用平方差公式继续分解． 2解答： 解：3x﹣27， 2=3（x﹣9）， =3（x+3）（x﹣3）． 故答案为：3（x+3）（x﹣3）． 点评： 本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式． 47

12．（3分）（2015•黄石）反比例函数y=值范围是 a

．

的图象有一支位于第一象限，则常数a的取

考点： 反比例函数的性质． 分析： 根据反比例函数的性质：当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小可得2a﹣1＞0，再解不等式即可． 解答： 解：∵反比例函数y=的图象有一支位于第一象限， ∴2a﹣1＞0， 解得：a＞． 故答案为：a． （k≠0），（1）k＞0，点评： 此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内． 13．（3分）（2015•黄石）九年级（3）班共有50名同学，如图是该班一次体育模拟测试成绩的频数分布直方图（满分为30分，成绩均为整数）．若将不低于23分的成绩评为合格，则该班此次成绩达到合格的同学占全班人数的百分比是 92% ．

考点： 频数（率）分布直方图． 分析： 利用合格的人数即50﹣4=46人，除以总人数即可求得． 解答： 解：该班此次成绩达到合格的同学占全班人数的百分比是×100%=92%． 故答案是：92%． 点评： 本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 14．（3分）（2015•黄石）如图，圆O的直径AB=8，AC=3CB，过C作AB的垂线交圆O于M，N两点，连结MB，则∠MBA的余弦值为

．

48

考点： 垂径定理；解直角三角形． 分析： 如图，作辅助线；求出BC的长度；运用射影定理求出BM的长度，借助锐角三角函数的定义求出∠MBA的余弦值，即可解决问题． 解答： 解：如图，连接AM； ∵AB=8，AC=3CB， ∴BC=AB=2： ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AMB=90°； 由射影定理得： 2BM=AB•CB， ∴BM=4，cos∠MBA=故答案为． =， 点评： 该题主要考查了圆周角定理及其推论、射影定理、锐角三角函数的定义等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，构造直角三角形；解题的关键是灵活运用圆周角定理及其推论、射影定理等知识点来分析、判断、解答． 15．（3分）（2015•黄石）一食堂需要购买盒子存放食物，盒子有A，B两种型号，单个盒子的容量和价格如表．现有15升食物需要存放且要求每个盒子要装满，由于A型号盒子正做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返还现金4元，则购买盒子所需要最少费用为 29 元． A B 型号 3 单个盒子容量（升） 2 5 6 单价（元） 考点： 一次函数的应用． 分析： 设购买A种型号盒子x个，购买盒子所需要费用为y元，则购买B种盒子的个数为 49

个，分两种情况讨论：①当0≤x＜3时；②当3≤x时，利用一次函数的性质即可解答． 解答： 解：设购买A种型号盒子x个，购买盒子所需要费用为y元， 则购买B种盒子的个数为①当0≤x＜3时，y=5x+个， =x+30， ∵k=1＞0， ∴y随x的增大而增大， ∴当x=0时，y有最小值，最小值为30元； ②当3≤x时，y=5x+﹣4=26+x， ∵k=1＞0， ∴y随x的增大而增大， ∴当x=3时，y有最小值，最小值为29元； 综合①②可得，购买盒子所需要最少费用为29元． 故答案为：29． 点评： 本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意列出函数解+析+式，利用一次函数的性质解决最小值的问题，注意分类讨论思想的应用． 16．（3分）（2015•黄石）现有多个全等直角三角形，先取三个拼成如图1所示的形状，R为DE的中点，BR分别交AC，CD于P，Q，易得BP：QR：QR=3：1：2．

（1）若取四个直角三角形拼成如图2所示的形状，S为EF的中点，BS分别交AC，CD，DE于P，Q，R，则BP：PQ：QR：RS= 4：1：3：2

（2）若取五个直角三角形拼成如图3所示的形状，T为FG的中点，BT分别交AC，CD，DE，EF于P，Q，R，S，则BP：PQ：QR：RS：ST= 5：1：4：2：3 ．

考点： 相似三角形的判定与性质． 分析： （1）首先证明△BCQ∽△BES，从而可求得CQ=，DQ=EF，然后证明△BAP∽△QDR得到BP：QR=4：3从而可知：BP：PQ：QR=4：1：3，然后由DQ∥SE，可知： QR：RS=DQ：SE=3：2，从而可求得BP：PQ：QR：RS=4：1：3：2； （2）由AC∥DE∥GF，可知：△BPC∽△BER∽BTG，能够求得：AP：DR：FT=5：4：3，然后再证明△BAP∽△QDR∽△SFT．，求得BP：QR：ST=AP：DR：FT=5：4：3，因为∵BP：QR：RT=1：1：1，所以可求得：BP：PQ：QR：RS：ST=5：1：4：2：3．

50

解答： 解：（1）∵四个直角三角形是全等三角形， ∴AB=EF=CD，AB∥EF∥CD，BC=CE，AC∥DE， ∴BP：PR=BC：CE=1， ∵CD∥EF， ∴△BCQ∽△BES． 又∵BC=CE ∴CQ=∴DQ== ， ∵AB∥CD， ∴∠ABP=∠DQR． 又∵∠BAP=∠QDR， ∴△BAP∽△QDR． ∴BP：QR=4：3． ∴BP：PQ：QR=4：1：3， ∵DQ∥SE， ∴QR：RS=DQ：SE=3：2， ∴BP：PQ：QR：RS=4：1：3：2． 故答案为：4：1：3：2； （2）∵五个直角三角形是全等直角三角形 ∴AB=CD=EF，AB∥CD∥EF，AC=DE=GF，AC∥DE∥GF， BC=CE=EG， ∴BP=PR=RT， ∵AC∥DE∥GF， ∴△BPC∽△BER∽BTG， ∴PC=∴AP==，RE==FG， ，DR=，FT=∴AP：DR：FT=5：4：3． ∵AC∥DE∥GF， ∴∠BPA=∠QRD=∠STF． 又∵∠BAP=∠QDR=∠SFT， ∴△BAP∽△QDR∽△SFT． ∴BP：QR：ST=AP：DR：FT=5：4：3． 又∵BP：QR：RT=1：1：1， ∴BP：PQ：QR：RS：ST=5：（5﹣4）：4：（5﹣3）：3=5：1：4：2：3． 故答案为：5：1：4：2：3． 点评： 本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，找出图中的相似三角形，求得相应线段之间的比例关系是解题的关键． 三.解答题（9个小题，共72分）

51

17．（7分）（2015•黄石）计算：﹣ +|﹣|+2sin45°+π+（）．

0﹣1

考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 专题： 计算题． 分析： 原式第一项化为最简二次根式，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用特殊角的三角函数值计算，第四项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果． 解答： 解：原式=﹣2++2×+1+2=3． 点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．（7分）（2015•黄石）先化简，再求值：

÷（﹣1），其中x=2﹣

．

考点： 分式的化简求值． 专题： 计算题． 分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 解答： 解：原式=÷=﹣•=﹣x+2， 当x=2﹣时，原式=﹣2++2=． 点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 19．（7分）（2015•黄石）如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中点．

（1）求BC的长；

（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．

考点： 切线的判定；含30度角的直角三角形；圆周角定理． 分析： （1）根据圆周角定理求得∠ADB=90°，然后解直角三角形即可求得BD，进而求得BC即可； （2）要证明直线DE是⊙O的切线只要证明∠EDO=90°即可． 解答： 证明：（1）解：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， 52

∴∠ADB=90°， 又∵∠ABC=30°，AB=4， ∴BD=2， ∵D是BC的中点， ∴BC=2BD=4； （2）证明：连接OD． ∵D是BC的中点，O是AB的中点， ∴DO是△ABC的中位线， ∴OD∥AC，则∠EDO=∠CED 又∵DE⊥AC， ∴∠CED=90°，∠EDO=∠CED=90° ∴DE是⊙O的切线． 点评： 此题主要考查了切线的判定以及含30°角的直角三角形的性质．解题时要注意连接过切点的半径是圆中的常见辅助线． 20．（8分）（2015•黄石）解方程组 考点： 高次方程． 分析： 由②得．

③，把③代入①解答即可． 解答： 解：，由②得③， 把③代入①得：解得：当x1=0时，y1=1； 当时，， ， ， 所以方程组的解是． 点评： 此题考查高次方程问题，关键是把高次方程化为一般方程再解答．

53

21．（8分）（2015•黄石）父亲节快到了，明明准备为爸爸煮四个大汤圆作早点：一个芝麻馅，一个水果馅，两个花生馅，四个汤圆除内部馅料不同外，其它一切均相同． （1）求爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的概率；

（2）若给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃前两个汤圆都是花生的可能性是否会增大？请说明理由． 考点： 列表法与树状图法． 分析： （1）首先分别用A，B，C表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，然后根据题意画树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与爸爸吃前两个汤圆都是花生的情况，再利用概率公式即可求得给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃前两个汤圆都是花生的概率，比较大小，即可知爸爸吃前两个汤圆都是花生的可能性是否会增大． 解答： 解：（1）分别用A，B，C表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆， 画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的有2种情况， ∴爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的概率为：=； （2）会增大． 理由：分别用A，B，C表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，画树状图得： ∵共有20种等可能的结果，爸爸吃前两个汤圆都是花生的有6种情况， ∴爸爸吃前两个汤圆都是花生的概率为：=＞； ∴给爸爸再增加一个花生馅的汤圆，则爸爸吃前两个汤圆都是花生的可能性会增大． 点评： 此题考查了树状图法与列表法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 22．（8分）（2015•黄石）如图所示，体育场内一看台与地面所成夹角为30°，看台最低点A到最高点B的距离为10，A，B两点正前方有垂直于地面的旗杆DE．在A，B两点处用仪器测量旗杆顶端E的仰角分别为60°和15°（仰角即视线与水平线的夹角）

54

（1）求AE的长；

（2）已知旗杆上有一面旗在离地1米的F点处，这面旗以0.5米/秒的速度匀速上升，求这面旗到达旗杆顶端需要多少秒？

考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 分析： （1）先求得∠ABE和AEB，利用等腰直角三角形即可求得AE； （2）在RT△ADE中，利用sin∠EAD=杆顶端需要的时间． 解答： 解：（1）∵BG∥CD， ∴∠GBA=∠BAC=30°， 又∵∠GBE=15°， ∴∠ABE=45°， ∵∠EAD=60°， ∴∠BAE=90°， ∴∠AEB=45°， ∴AB=AE=10， 故AE的长为10米． （2）在RT△ADE中，sin∠EAD=∴DE=10×=15， ， ，求得ED的长，即可求得这面旗到达旗又∵DF=1， ∴FE=14， ∴时间t==28（秒）． 故旗子到达旗杆顶端需要28秒． 点评： 本题考查了解直角三角形的应用，此类问题的解决关键是建立数学建模，把实际问题转化成数学问题，利用数学知识解决． 23．（8分）（2015•黄石）大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店．该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40

55

元，售价为每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件．为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为60+x（元/件）（x＞0即售价上涨，x＜0即售价下降），每月饰品销量为y（件），月利润为w（元）．

（1）直接写出y与x之间的函数关系式；

（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润； （3）为了使每月利润不少于6000元应如何控制销售价格？ 考点： 二次函数的应用． 分析： （1）直接根据题意售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件，进而得出等量关系； （2）利用每件利润×销量=总利润，进而利用配方法求出即可； （3）利用函数图象结合一元二次方程的解法得出符合题意的答案． 解答： 解：（1）由题意可得：y=； （2）由题意可得：w=， 化简得：w=， 即w=， 由题意可知x应取整数，故当x=﹣2或x=﹣3时，w＜6125＜6250， 故当销售价格为65元时，利润最大，最大利润为6250元； （3）由题意w≥6000，如图，令w=6000， 即6000=﹣10（x﹣5）+6250，6000=﹣20（x+）+6125， 解得：x1=﹣5，x2=0，x3=10， ﹣5≤x≤10， 故将销售价格控制在55元到70元之间（含55元和70元）才能使每月利润不少于6000元． 22 56

点评： 此题主要考查了二次函数的应用以及配方法求二次函数最值等知识，利用函数图象得出x的取值范围是解题关键． 24．（9分）（2015•黄石）在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．

（1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；

（2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB=θ是否成立？请说明理由．

考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质． 分析： （1）①由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，证出OC′=OD′，由SAS证明△AOC′≌△BOD′，得出对应边相等即可； ②由全等三角形的性质得出∠OAC′=∠OBD′，又由对顶角相等和三角形内角和定理得出∠BEA=90°，即可得出结论； （2）由旋转的性质得出OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′，由平行线得出比例式，得出，证明△AOC′∽△BOD′，得出∠OAC′=∠OBD′再由对顶角相等和三角形内角和定理即可得出∠AEB=θ． 解答： （1）证明：①∵△OCD旋转到△OC′D′， ∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′， ∵OA=OB，C、D为OA、OB的中点， ∴OC=OD， ∴OC′=OD′， 在△AOC′和△BOD′中，， 57

∴△AOC′≌△BOD′（SAS）， ∴AC′=BD′； ②延长AC′交BD′于E，交BO于F，如图1所示： ∵△AOC′≌△BOD′， ∴∠OAC′=∠OBD′， 又∠AFO=∠BFE，∠OAC′+∠AFO=90°， ∴∠OBD′+∠BFE=90°， ∴∠BEA=90°， ∴AC′⊥BD′； （2）解：∠AEB=θ成立，理由如下：如图2所示： ∵△OCD旋转到△OC′D′， ∴OC=OC′，OD=OD′，∠AOC′=∠BOD′， ∵CD∥AB， ∴∴∴， ， ， 又∠AOC′=∠BOD′， ∴△AOC′∽△BOD′， ∴∠OAC′=∠OBD′， 又∠AFO=∠BFE， ∴∠AEB=∠AOB=θ． 点评： 本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握旋转的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． 25．（10分）（2015•黄石）已知双曲线y=（x＞0），直线l1：y﹣

=k（x﹣

）（k＜0）

过定点F且与双曲线交于A，B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），直线l2：y=﹣x+．

（1）若k=﹣1，求△OAB的面积S；

58

（2）若AB=，求k的值；

（3）设N（0，2），P在双曲线上，M在直线l2上且PM∥x轴，求PM+PN最小值，并求PM+PN取得最小值时P的坐标．（参考公式：在平面直角坐标系中，若A（x1，y1），B（x2，y2）则A，B两点间的距离为AB=

）

考点： 反比例函数综合题． 分析： （1）将l1与y=组成方程组，即可得到C点坐标，从而求出△OAB的面积； （2）根据题意得：2 整理得：kx+2（1﹣k）x﹣1=0（k＜0），根据根与系数的关系得到2k+5k+2=0，从而求出k的值； （3）设P（x，），则M（﹣+解答： 解：（1）当k=1时，l1：y=﹣x+2联立得，2，），根据PM=PF，求出点P的坐标． ， x+1=0， ，化简得x﹣2解得：x1=﹣1，x2=+1， 设直线l1与y轴交于点C，则C（0，2S△OAB=S△AOC﹣S△BOC=•2）． ； 2•（x2﹣x1）=2（2）根据题意得： 整理得：kx+（1﹣k）x﹣1=0（k＜0）， 22∵△=[（1﹣k）]﹣4×k×（﹣1）=2（1+k）＞0， ∴x1、x2 是方程的两根， ∴ ①， 59

∴AB==， =， =， 将①代入得，AB==（k＜0）， ∴2=， 整理得：2k+5k+2=0， 解得：k=2，或 k=﹣； （3）F（，），如图： ，）， 设P（x，），则M（﹣+则PM=x+﹣==， ∵PF==， ∴PM=PF． ∴PM+PN=PF+PN≥NF=2， 当点P在NF上时等号成立，此时NF的方程为y=﹣x+2由（1）知P（﹣1，+1）， ∴当P（﹣1，+1）时，PM+PN最小值是2． ， 点评： 本题考查了反比例函数综合题，涉及函数图象的交点与方程组的解的关系、三角形的面积、一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法、两点间的距离公式的等知识，综合性较强．

60

荆门市2015年初中毕业生学业水平考试

数 学 试 题

说明：1.全卷分两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题，考试时间120分钟，满

分120分.

2.本卷试题，考生必须在答题卡上按规范作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效，答题卡必须保持清洁、不能折叠.

3.选择题1—12题，每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡选择题答题区内对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；非选择题13—24题，答案（含作辅助线）必须用规定的笔，按作答题目序号，写在答题卡对应的区域内.

第一部分 选择题

一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分.每小题给出4个选项，有且只有一个答案是正确的） 1．的立方根为

A．4 B．4 C．8 D．8 2．下列计算正确的是

A．a2a3a5 B．a2a3a6 C．(a2)3a5 D．a5a2a3

A

B C D 3．下列四个几何体中，俯视图为四边形的是

4．某市2014年的国民生产总值为2073亿元，这个数用科学记数法表示为

A．2.0731010元 B．2.0731011元 C．2.0731012元 D．2.0731013元 5．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为 A．8或10 B．8 C．10 D．6或12

6．如图，m∥n，直线l分别交m、n于点A、点B，AC⊥AB，AC交直线n于点C，若∠1=35°，

61

则∠2等于

A．35° B．45° C．55° D．65°

7．若关于x的一元二次方程x24x5a0有实数根，则

lA1ma的取值范围是

A．a≥1 B．a＞1 C．a≤1 D．a＜1

8．当1＜a＜2时，代数式(a2)21a0的值是

A．1 B．1 C．2a3 D．32a 9．在一次800米的长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程s（米）与各自所用时间t（秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD，则下列说法正确的是

A．甲的速度随时间的增加而增大 B．乙的平均速度比甲的平均速度大 C．在起跑后第180秒时，两人相遇 D．在起跑后第50秒时，乙在甲的前面

400300200OB800600s（米）2B第6题图 CnADC50第9题图 180220t（秒）10．在排球训练中，甲、乙、丙三人相互传球，由甲开始发球（记为第一次传球）.则经过三次传球后，球仍回到甲手中的概率是 A．

1153 B． C． D． 2488AD11．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tanDBC的值为

11A． B．21 C．23 D． 3412．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD，△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M、

B第11题图 ECDMPAB第12题图

EQCP，CD交BE于点Q，连接PQ，BM.下列结论：①△ABE≌△DBC；②∠DMA＝60°；③△BPQ为等边三角形；④

MB平分∠AMC.其中结论正确的有

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

62

第二部分 非选择题

二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

3x5＜2x,13．不等式组x1的解集是 ▲ ．

≤2x1214．王大爷用280元买了甲、乙两种药材，甲种药材每千克20元，乙种药材每千克60元，且甲种药材比乙种药材多买了2千克，则甲种药材购买了 ▲ 千克． 15．已知关于x的一元二次方程x2(m3)xm10的两个实数根为x1，x2，若

x12x224，则m的值为 ▲ ．

16．在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，将矩形

DCD'A'ABCD沿直线l向右翻滚两次至如图所示

位置，则点B所经过的路线长是 ▲ （结果不取近似值）．

17．如图，点A1，A2依次在y93(x＞0)的图象上，点B1，B2AB第16题图

C'B'lxyA1A2依次在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2均为等边三角形，则点B2的坐标为 ▲ ．

三、解答题(本大题共7题，共69分) 18．（本题满分8分）先化简，再求值：

OB1第17题图 B2xa2b2aba，其中a13，b13． 22a2abbabab

19．（本题满分9分）已知，如图在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且

AE=CF，DF∥BE，AC平分∠BAD.求证：四边

形ABCD为菱形．

63

DFEABC第19题图

20．（本题满分10分）为了了解江城中学学生的身高情况，随机对该校男生、女生的身高进行抽样调查.已知抽取的样本中，男生、女生的人数相同，根据所得数据绘制如图所示的统计图表.

男生身高情况直方图女生身高情况扇形图组别 身高（cm） A B C D E

根据图表中提供的信息，回答下列问题：

频数（人数）14128420BA20%E5% x＜150 150≤x＜155 155≤x＜160 160≤x＜165 C30%ABCDE身高/cmD15%x≥165 （1）在样本中，男生身高的中位数落在_______组（填组别序号），女生身高在B组的人数有 _______人；

（2）在样本中，身高在150≤x＜155之间的人数共有_______人，身高人数最多的在____组（填组别序号）；

（3）已知该校共有男生500人，女生480人，请估计身高在155≤x<165之间的学生约有多少人？

21．（本题满分10分）如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A 处朝正南方向撤退，红方在公路上的B 处沿南偏西60°方向前进实施拦截.红方行驶1000 米到达C 处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D 处成功拦截蓝方.求拦截点D 处到公路的距离（结果不取近似值）.

AB60°C45°D第21题图 22．（本题满分10分）已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC. （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）求证：CE2EHEA； （3）若⊙O的半径为5，sinA

23．（本题满分10分）甲经销商库存有1200套

B第22题图

3，求BH的长. 5ACHFEODA品牌服装，每套进价400元，每套售价500元，一年内可卖完．现市场上流行B品牌服装，每套进价300元，每套售价600元，但一年内只允许经销商一次性订购B品牌服装，一年内B品牌服装销售无积压.因甲经销商无流动资金，只有低价转让A品牌服装，用转让来的资金购进B品牌服装，并销售．经与乙经销商协商，甲、乙双方达成转让协议，转让价格y（元/套）与转让数量x（套）之间的函数关系式为

y1x360(100≤x≤1200).若甲经销商转让x套A品牌服装，一年内所获总利润10为w（元）.

（1）求转让后剩余的A品牌服装的销售款Q1（元）与x（套）之间的函数关系式； （2）求B品牌服装的销售款Q2（元）与x（套）之间的函数关系式； （3）求w（元）与x（套）之间的函数关系式，并求w的最大值.

24．（本题满分12分） 如图，在矩形OABC 中，OA=5，AB=4，点D 为边AB 上一点，将△BCD 沿直线CD 折叠，使点B 恰好落在OA边上的点E 处，分别以OC，OA 所在的直线为x 轴，

y 轴建立平面直角坐标系.

65

（1）求OE 的长及经过O，D，C 三点的抛物线的解+析+式；

（2）一动点P 从点C 出发，沿CB 以每秒2 个单位长的速度向点B 运动，同时动点Q 从

E 点出发，沿EC 以每秒1 个单位长的速度向点C 运动，当点P 到达点B 时，两点同

时停止运动.设运动时间为t 秒，当t为何值时，DP=DQ；

（3）若点N 在（1）中的抛物线的对称轴上，点M 在抛物线上,是否存在这样的点M与点N，使得以M，N，C，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M 点的坐标；若不存在，请说明理由.

66

yCOxEBDA第24题图

67

68

69

湖北省荆州市2015年中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分） 1．﹣2的相反数是（ ）

70

A． 2 B． ﹣2 C． D．

考点： 相反数．

分析： 根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数即可得到答案． 解答： 解：﹣2的相反数是2， 故选：A．

点评： 此题主要考查了相反数，关键是掌握相反数的定义．

2．如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于A，B两点，若∠1=70°，则∠2=（ ） A． 70° B． 80° C． 110° D． 120° 考点： 平行线的性质．

分析： 根据平行线的性质求出∠3=∠1=70°，即可求出答案．

解答： 解： ∵直线l1∥l2，∠1=70°， ∴∠3=∠1=70°，

∴∠2=180°﹣∠3=110°， 故选C．

点评： 本题考查了平行线的性质，邻补角定义的应用，解此题的关键是求出∠3的度数，注意：两直线平行，同位角相等． 3．下列运算正确的是（ ）

A． =±2 B． x2•x3=x6 C． += D． （x2）3=x6

考点： 幂的乘方与积的乘方；实数的运算；同底数幂的乘法．

分析： 根据算术平方根的定义对A进行判断；根据同底数幂的乘法对B进行运算；根据同类二次根式的定义对C进行判断；根据幂的乘方对D进行运算． 解答： 解：A.=2，所以A错误； B．x2•x3=x5，所以B错误；

C.+不是同类二次根式，不能合并； D．（x2）3=x6，所以D正确． 故选D．

点评： 本题考查实数的综合运算能力，综合运用各种运算法则是解答此题的关键． 4．将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解+析+式为（ ）

A． y=（x﹣1）2+4 B． y=（x﹣4）2+4 C． y=（x+2）2+6 D． y=（x﹣4）2+6 考点： 二次函数图象与几何变换．

分析： 根据函数图象向上平移加，向右平移减，可得函数解+析+式． 解答： 解：将y=x2﹣2x+3化为顶点式，得y=（x﹣1）2+2． 将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解+析+式为y=（x﹣4）2+4， 故选：B．

71

点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象的平移规律是：左加右减，上加下减．

5．如图，A，B，C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO的度数是（ ）

A． 55° B． 60° C． 65° D． 70° 考点： 圆周角定理．

分析： 连接OB，要求∠BAO的度数，只要在等腰三角形OAB中求得一个角的度数即可得到答案，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOB=50°，然后根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理即可求得． 解答： 解：连接OB， ∵∠ACB=25°，

∴∠AOB=2×25°=50°， 由OA=OB，

∴∠BAO=∠ABO，

∴∠BAO=（180°﹣50°）=65°． 故选C．

点评： 本题考查了圆周角定理；作出辅助线，构建等腰三角形是正确解答本题的关键． 6．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）

A． ∠ABP=∠C B． ∠APB=∠ABC

C．

=

D．

=

考点： 相似三角形的判定．

分析： 分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．

解答： 解：A、当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误； B、当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误； C、当

=

时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；

72

D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确． 故选：D．

点评： 此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键． 7．若关于x的分式方程

=2的解为非负数，则m的取值范围是（ ）

A． m＞﹣1 B． m≥1 C． m＞﹣1且m≠1 D． m≥﹣1且m≠1 考点： 分式方程的解． 专题： 计算题．

分析： 分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为0求出m的范围即可． 解答： 解：去分母得：m﹣1=2x﹣2， 解得：x=由题意得：

， ≥0且

≠1，

解得：m≥﹣1且m≠1， 故选D

点评： 此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．

8．如图所示，将正方形纸片三次对折后，沿图中AB线剪掉一个等腰直角三角形，展开铺平得到的图形是（ ）

A． B． C． D．

考点： 剪纸问题．

分析： 根据题意直接动手操作得出即可．

解答： 解：找一张正方形的纸片，按上述顺序折叠、裁剪，然后展开后得到的图形如图所示：

故选A．

点评： 本题考查了剪纸问题，难点在于根据折痕逐层展开，动手操作会更简便． 9．如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（ ）

73

A． B． C．D．

考点： 动点问题的函数图象．

分析： 首先根据正方形的边长与动点P、Q的速度可知动点Q始终在AB边上，而动点P可以在BC边、CD边、AD边上，再分三种情况进行讨论：①0≤x≤1；②1＜x≤2；③2＜x≤3；分别求出y关于x的函数解+析+式，然后根据函数的图象与性质即可求解． 解答： 解：由题意可得BQ=x．

①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP=3x， 则△BPQ的面积=BP•BQ， 解y=•3x•x=x2；故A选项错误； ②1＜x≤2时，P点在CD边上， 则△BPQ的面积=BQ•BC， 解y=•x•3=x；故B选项错误；

③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP=9﹣3x， 则△BPQ的面积=AP•BQ，

解y=•（9﹣3x）•x=x﹣x；故D选项错误．

故选C．

点评： 本题考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，三角形的面积，利用数形结合、分类讨论是解题的关键．

10．把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31），…，现有等式Am=（i，j）表示正奇数m是第i组第j个数（从左往右数），如A7=（2，3），则A2015=（ ） A． （31，50） B． （32，47） C． （33，46） D． （34，42） 考点： 规律型：数字的变化类．

分析： 先计算出2015是第1008个数，然后判断第1008个数在第几组，再判断是这一组的第几个数即可． 解答： 解：2015是第

=1008个数，

2

设2015在第n组，则1+3+5+7+…+（2n﹣1）≥1008， 即

≥1008，

解得：n≥，

当n=31时，1+3+5+7+…+61=961； 当n=32时，1+3+5+7+…+63=1024； 故第1008个数在第32组，

74

第1024个数为：2×1024﹣1=2047，

第32组的第一个数为：2×962﹣1=1923， 则2015是（

+1）=47个数．

故A2015=（32，47）． 故选B．

点评： 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．计算：

﹣2+

﹣1

﹣|﹣2|+（﹣）= 3 ．

0

考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂． 专题： 计算题．

分析： 原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用立方根定义计算，第四项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果．

解答： 解：原式=3﹣+2﹣2+1=3， 故答案为：3

点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

22

12．分解因式：ab﹣ac= a（b+c）（b﹣c） ． 考点： 提公因式法与公式法的综合运用． 专题： 计算题．

分析： 原式提取a，再利用平方差公式分解即可． 解答： 解：原式=a（b2﹣c2）=a（b+c）（b﹣c）， 故答案为：a（b+c）（b﹣c）

点评： 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

13．如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB= 16 cm．

考点： 线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．

分析： 首先根据DE是AB的垂直平分线，可得AE=BE；然后根据△ABC的周长=AB+AC+BC，△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，可得△ABC的周长﹣△EBC的周长=AB，据此求出AB的长度是多少即可． 解答： 解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE=BE；

∵△ABC的周长=AB+AC+BC，△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，

75

∴△ABC的周长﹣△EBC的周长=AB， ∴AB=40﹣24=16（cm）． 故答案为：16．

点评： （1）此题主要考查了垂直平分线的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．

（2）此题还考查了等腰三角形的性质，以及三角形的周长的求法，要熟练掌握． 14．若m，n是方程x2+x﹣1=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为 0 ． 考点： 根与系数的关系；一元二次方程的解． 专题： 计算题．

分析： 由题意m为已知方程的解，把x=m代入方程求出m2+m的值，利用根与系数的关系求出m+n的值，原式变形后代入计算即可求出值． 解答： 解：∵m，n是方程x2+x﹣1=0的两个实数根，

2

∴m+n=﹣1，m+m=1，

则原式=（m2+m）+（m+n）=1﹣1=0， 故答案为：0

点评： 此题考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．

15．如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为 137 米（结果保留整数，测角仪忽略不计，≈1.414，，1.732）

考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 专题： 计算题．

分析： 根据仰角和俯角的定义得到∠ABD=30°，∠ACD=45°，设AD=xm，先在Rt△ACD中，利用∠ACD的正切可得CD=AD=x，则BD=BC+CD=x+100，然后在Rt△ABD中，利用∠ABD的正切得到x=

（x+100），解得x=50（

+1），再进行近似计算即可．

解答： 解：如图，∠ABD=30°，∠ACD=45°，BC=100m， 设AD=xm，

在Rt△ACD中，∵tan∠ACD=∴CD=AD=x，

∴BD=BC+CD=x+100， 在Rt△ABD中，∵tan∠ABD=∴x=

（x+100），

， ，

∴x=50（+1）≈137， 即山高AD为137米．

76

故答案为137．

点评： 本题考查了解直角三角形﹣的应用﹣仰角俯角：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．

16．如图，矩形ABCD中，OA在x轴上，OC在y轴上，且OA=2，AB=5，把△ABC沿着AC对折得到△AB′C，AB′交y轴于D点，则B′ 点的坐标为 （

，

） ．

考点： 翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质．

分析： 作B′E⊥x轴，设OD=x，在Rt△AOD中，根据勾股定理列方程，再由△ADO∽△AB′E，求出B′E和OE． 解答： 解：作B′E⊥x轴， 易证AD=CD，

设OD=x，AD=5﹣x，

222

在Rt△AOD中，根据勾股定理列方程得：2+x=（5﹣x）， 解得：x=2.1， ∴AD=2.9， ∵OD∥B′E，

∴△ADO∽△AB′E， ∴∴解得：B′E=AE=∴OE=∴B′（

， ﹣2=，

． ）． ，

）． ， ， ，

故答案为：（

77

点评： 本题主要考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，根据勾股定理列方程求出OD是解决问题的关键．

17．如图，将一张边长为6cm的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成底面是正六边形的棱柱，则这个六棱柱的侧面积为 36﹣12 cm2．

考点： 展开图折叠成几何体．

分析： 这个棱柱的侧面展开正好是一个长方形，长为6，宽为6减去两个六边形的高，再用长方形的面积公式计算即可求得答案．

解答： 解：∵将一张边长为6的正方形纸片按虚线裁剪后，恰好围成一个底面是正六边形的棱柱，

∴这个正六边形的底面边长为1，高为， ∴侧面积为长为6，宽为6﹣2的长方形， ∴面积为：6×（6﹣2）=36﹣12． 故答案为：36﹣12．

点评： 此题主要考查了正方形的性质、矩形的性质以及剪纸问题的应用．此题难度不大，注意动手操作拼出图形，并能正确进行计算是解答本题的关键．

18．如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA=8，AB=10，点C在边OA上，AC=2，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y=（k≠0）的图象经过圆心P，则k= ﹣

．

考点： 切线的性质；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征． 专题： 计算题．

分析： 作PD⊥OA于D，PE⊥AB于E，作CH⊥AB于H，如图，设⊙P的半径为r，根据切线的性质和切线长定理得到PD=PE=r，AD=AE，再利用勾股定理计算出OB=6，则可判断△OBC为等腰直角三角形，从而得到△PCD为等腰直角三角形，则PD=CD=r，

78

AE=AD=2+r，通过证明△ACH∽△ABO，利用相似比计算出CH=，接着利用勾股定理计算出AH=，所以BH=10﹣=

，然后证明△BEH∽△BHC，利用相似比得到即

=，解得r=，从而易得P点坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特

征求出k的值．

解答： 解：作PD⊥OA于D，PE⊥AB于E，作CH⊥AB于H，如图，设⊙P的半径为r，

∵⊙P与边AB，AO都相切， ∴PD=PE=r，AD=AE，

在Rt△OAB中，∵OA=8，AB=10， ∴OB=

=6，

∵AC=2， ∴OC=6，

∴△OBC为等腰直角三角形， ∴△PCD为等腰直角三角形， ∴PD=CD=r， ∴AE=AD=2+r， ∵∠CAH=∠BAO， ∴△ACH∽△ABO， ∴

=

，即

=

，解得CH=， =，

=，

∴AH=∴BH=10﹣=

∵PE∥CH，

∴△BEP∽△BHC， ∴

=

，即

=，解得r=，

∴OD=OC﹣CD=6﹣=， ∴P（，﹣）， ∴k=×（﹣）=﹣故答案为﹣

．

．

79

点评： 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线不确定切点，则过圆心作切线的垂线，则垂线段等于圆的半径．也考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质和反比例函数图象上点的坐标特征． 三、解答题（本大题共7小题，共66分） 19．（7分）解方程组：

．

考点： 解二元一次方程组． 专题： 计算题．

分析： 方程组利用加减消元法求出解即可． 解答： 解：②×3﹣①得：11y=22，即y=2， 把y=2代入②得：x=1， 则方程组的解为

．

点评： 此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．

20．（8分）某校八年级（1）班语文杨老师为了了解学生汉字听写能力情况，对班上一个组学生的汉字听写成绩按A，B，C，D四个等级进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图：

（1）求D等级所对扇形的圆心角，并将条形统计图补充完整；

（2）该组达到A等级的同学中只有1位男同学，杨老师打算从该组达到A等级的同学中随机选出2位同学在全班介绍经验，请用列表法或画树状图的方法，求出所选两位同学恰好是1位男同学和1位女同学的概率．

考点： 列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．

分析： （1）根据C等级的人数及所占的比例即可得出总人数，进而可得出D级学生的人数占全班总人数的百分数及扇形统计图中D级所在的扇形的圆心角；根据A、B等级的人数=总数×所占的百分比可补全图形．

（2）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．

80

解答： 解：（1）总人数=5÷25%=20， ∴D级学生的人数占全班总人数的百分数为：

×100%=15%，

扇形统计图中D级所在的扇形的圆心角为15%×360°=54°．

由题意得：B等级的人数=20×40%=8（人），A等级的人数=20×20%=4．

（2）根据题意画出树状图如下：

一共有12种情况，恰好是1位男同学和1位女同学有7种情况， 所以，P（恰好是1位男同学和1位女同学）=

．

点评： 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线AB分别与x轴、y轴交于B和A，与反比例函数的图象交于C、D，CE⊥x轴于点E，tan∠ABO=，OB=4，OE=2． （1）求直线AB和反比例函数的解+析+式； （2）求△OCD的面积．

考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．

分析： （1）根据已知条件求出A、B、C点坐标，用待定系数法求出直线AB和反比例的函数解+析+式；

81

（2）联立一次函数的解+析+式和反比例的函数解+析+式可得交点D的坐标，从而根据三角形面积公式求解．

解答： 解：（1）∵OB=4，OE=2， ∴BE=2+4=6．

∵CE⊥x轴于点E，tan∠ABO=

=

=．

∴OA=2，CE=3．

∴点A的坐标为（0，2）、点B的坐标为C（4，0）、点C的坐标为（﹣2，3）． 设直线AB的解+析+式为y=kx+b，则

，

解得．

故直线AB的解+析+式为y=﹣x+2． 设反比例函数的解+析+式为y=（m≠0）， 将点C的坐标代入，得3=∴m=﹣6．

∴该反比例函数的解+析+式为y=﹣．

，

（2）联立反比例函数的解+析+式和直线AB的解+析+式可得，

可得交点D的坐标为（6，﹣1）， 则△BOD的面积=4×1÷2=2， △BOD的面积=4×3÷2=6， 故△OCD的面积为2+6=8．

点评： 本题是一次函数与反比例函数的综合题．主要考查待定系数法求函数解+析+式．求A、B、C点的坐标需用正切定义或相似三角形的性质，起点稍高，部分学生感觉较难．

22．（9分）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F． （1）证明：PC=PE； （2）求∠CPE的度数；

（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．

82

考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．

分析： （1）先证出△ABP≌△CBP，得PA=PC，由于PA=PE，得PC=PE；

（2）由△ABP≌△CBP，得∠BAP=∠BCP，进而得∠DAP=∠DCP，由PA=PC，得到∠DAP=∠E，∠DCP=∠E，最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论； （3）借助（1）和（2）的证明方法容易证明结论． 解答： （1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC， ∠ABP=∠CBP=45°， 在△ABP和△CBP中，

，

∴△ABP≌△CBP（SAS）， ∴PA=PC， ∵PA=PE， ∴PC=PE；

（2）由（1）知，△ABP≌△CBP， ∴∠BAP=∠BCP， ∴∠DAP=∠DCP， ∵PA=PC，

∴∠DAP=∠E， ∴∠DCP=∠E，

∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），

∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E， 即∠CPF=∠EDF=90°；

（3）在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°， 在△ABP和△CBP中，

∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴PA=PC，∠BAP=∠BCP， ∵PA=PE， ∴PC=PE，

∴∠DAP=∠DCP， ∵PA=PC，

∴∠DAP=∠E， ∴∠DCP=∠E

83

∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），

∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E， 即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°， ∴△EPC是等边三角形， ∴PC=CE， ∴AP=CE；

点评： 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质确定出∠ABP=∠CBP是解题的关键．

23．（10分）荆州素有“鱼米之乡”的美称，某渔业公司组织20辆汽车装运鲢鱼、草鱼、青鱼共120吨去外地销售，按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种鱼，且必须装满，根据下表提供的信息，解答以下问题：

鲢鱼 草鱼 青鱼 8 6 5 每辆汽车载鱼量（吨） 0.25 0.3 0.2 每吨鱼获利（万元） （1）设装运鲢鱼的车辆为x辆，装运草鱼的车辆为y辆，求y与x之间的函数关系式； （2）如果装运每种鱼的车辆都不少于2辆，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出最大利润．

考点： 一次函数的应用．

分析： （1）设装运鲢鱼的车辆为x辆，装运草鱼的车辆为y辆，则由（20﹣x﹣y）辆汽车装运青鱼，由20辆汽车的总运输量为120吨建立等式就可以求出结论；

（2）根据建立不等装运每种鱼的车辆都不少于2辆，列出不等式组求出x的范围，设此次销售所获利润为w元，

w=0.25x×8+0.3（﹣3x+20）×6+0.2（20﹣x+3x﹣20）×5=﹣1.4x+36，再利用一次函数的性质即可解答． 解答： 解：（1）设装运鲢鱼的车辆为x辆，装运草鱼的车辆为y辆，则由（20﹣x﹣y）辆汽车装运青鱼，由题意，得 8x+6y+5（20﹣x﹣y）=120， ∴y=﹣3x+20．

答：y与x的函数关系式为y=﹣3x+20； （2），根据题意，得

∴，

84

解得：2≤x≤6，

设此次销售所获利润为w元，

w=0.25x×8+0.3（﹣3x+20）×6+0.2（20﹣x+3x﹣20）×5=﹣1.4x+36 ∵k=﹣1.4＜0，

∴w随x的增大而减小．

∴当x=2时，w取最大值，最大值为：﹣1.4×2+36=33.2（万元）．

∴装运鲢鱼的车辆为2辆，装运草鱼的车辆为14辆，装运青鱼的车辆为4辆时获利最大，最大利润为33.2万元．

点评： 本题考查了一次函数的解+析+式的运用，一次函数的性质的运用，一元一次不等式组的运用，解答时求出函数的解+析+式是关键． 24．（12分）已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0． （1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；

2

（2）当抛物线y=kx+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P（a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；

（3）已知抛物线y=kx2+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标．

考点： 抛物线与x轴的交点；根的判别式；二次函数图象上点的坐标特征．

分析： （1）分类讨论：该方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况．当该方程为一元二次方程时，根的判别式△≥0，方程总有实数根；

（2）通过解kx2+（2k+1）x+2=0得到k=1，由此得到该抛物线解+析+式为y=x2+3x+2，结合图象回答问题．

（3）根据题意得到kx2+（2k+1）x+2﹣y=0恒成立，由此列出关于x、y的方程组，通过解方程组求得该定点坐标．

解答： （1）证明：①当k=0时，方程为x+2=0，所以x=﹣2，方程有实数根， ②当k≠0时，∵△=（2k+1）2﹣4k×2=（2k﹣1）2≥0，即△≥0， ∴无论k取任何实数时，方程总有实数根； （2）解：令y=0，则kx2+（2k+1）x+2=0， 解关于x的一元二次方程，得x1=﹣2，x2=﹣，

∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数， ∴k=1．

∴该抛物线解+析+式为y=x2+3x+2，

．

由图象得到：当y1＞y2时，a＞1或a＜﹣3．

（3）依题意得kx2+（2k+1）x+2﹣y=0恒成立，即k（x2+2x）+x﹣y+2=0恒成立， 则

，

85

解得或．

所以该抛物线恒过定点（0，2）、（﹣2，0）．

点评： 本题考查了抛物线与x轴的交点与判别式的关系及二次函数图象上点的坐标特征，解答（1）题时要注意分类讨论．

25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，D点在y轴上，C点坐标为（2，0），BC=6，∠BCD=60°，点E是AB上一点，AE=3EB，⊙P过D，O，C三点，抛物线y=ax2+bx+c过点D，B，C三点． （1）求抛物线的解+析+式； （2）求证：ED是⊙P的切线；

（3）若将△ADE绕点D逆时针旋转90°，E点的对应点E′会落在抛物线y=ax2+bx+c上吗？请说明理由；

（4）若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

考点： 二次函数综合题． 专题： 综合题．

分析： （1）先确定B（﹣4，0），再在Rt△OCD中利用∠OCD的正切求出OD=2，D（0，2），然后利用交点式求抛物线的解+析+式；

（2）先计算出CD=2OC=4，再根据平行四边形的性质得AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，则由AE=3BE得到AE=3，接着计算

=，加上∠DAE=∠DCB，

则可判定△AED∽△COD，得到∠ADE=∠CDO，而∠ADE+∠ODE=90°则∠CDO+∠ODE=90°，再利用圆周角定理得到CD为⊙P的直径，于是根据切线的判定定理得到ED是⊙P的切线

（3）由△AED∽△COD，根据相似比计算出DE=3，由于∠CDE=90°，DE＞DC，再根据旋转的性质得E点的对应点E′在射线DC上，而点C、D在抛物线上，于是可判断点E′不能在抛物线上； （4）利用配方得到y=﹣

（x+1）+

2

，则M（﹣1，），且B（﹣4，0），D

（0，2），根据平行四边形的性质和点平移的规律，利用分类讨论的方法确定N点坐标．

解答： 解：（1）∵C（2，0），BC=6， ∴B（﹣4，0），

86

在Rt△OCD中，∵tan∠OCD=，

∴OD=2tan60°=2， ∴D（0，2），

设抛物线的解+析+式为y=a（x+4）（x﹣2）， 把D（0，2

）代入得a•4•（﹣2）=2

，解得a=﹣

， x2﹣

x+2

；

∴抛物线的解+析+式为y=﹣（x+4）（x﹣2）=﹣

（2）在Rt△OCD中，CD=2OC=4， ∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6， ∵AE=3BE， ∴AE=3， ∴∴

=，=

，

==，

而∠DAE=∠DCB， ∴△AED∽△COD， ∴∠ADE=∠CDO， 而∠ADE+∠ODE=90° ∴∠CDO+∠ODE=90°， ∴CD⊥DE， ∵∠DOC=90°，

∴CD为⊙P的直径， ∴ED是⊙P的切线；

（3）E点的对应点E′不会落在抛物线y=ax2+bx+c上．理由如下： ∵△AED∽△COD， ∴

=

，即

=，解得DE=3

，

∵∠CDE=90°，DE＞DC，

∴△ADE绕点D逆时针旋转90°，E点的对应点E′在射线DC上， 而点C、D在抛物线上， ∴点E′不能在抛物线上； （4）存在． ∵y=﹣

x﹣

2

x+2），

=﹣

（x+1）+

2

∴M（﹣1，

而B（﹣4，0），D（0，2如图2，

），

87

当BM为平行四边形BDMN的对角线时，点D向左平移4个单位，再向下平移2单位得到点B，则点M（﹣1，点N1（﹣5，

）；

）向左平移4个单位，再向下平移2

个

个单位得到

当DM为平行四边形BDMN的对角线时，点B向右平移3个单位，再向上平移单位得到点M，则点D（0，2N2（3，

）；

）向右平移3个单位，再向上平移

个

个单位得到点

当BD为平行四边形BDMN的对角线时，点M向左平移3个单位，再向下平移单位得到点B，则点D（0，2N3（﹣3，﹣

），

）、（3，

）、（﹣3，﹣

）．

）向右平移3个单位，再向下平移

个

个单位得到点

综上所述，点N的坐标为（﹣5，

点评： 考查了二次函数综合题：熟练掌握用待定系数法求二次函数解+析+式、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；掌握平行四边形的性质点平移的规律；会证明圆的切线

湖北省潜江市、天门市、仙桃市、江汉油田2015年中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．﹣3的绝对值是（ ）

88

3 A．B． ﹣3 C． D． 考点：绝对值． 分析：根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出． 解答：解：|﹣3|=﹣（﹣3）=3． 故选：A．

点评：考查绝对值的概念和求法．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．

2．如图所示的几何体，其左视图是（ ）

A． B． C． D． 考点：简单组合体的三视图． 分析：根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．

解答：解：从左边看是一个矩形的左上角去掉了一个小矩形， 故选：C．

点评：本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图 3．（3分）（2015•潜江）位于江汉平原的兴隆水利工程于2014年9月25日竣工，该工程设计的年发电量为2.25亿度，2.25亿这个数用科学记数法表示为（ ） 9876 A．B． C． D． 2.25×10 2.25×10 22.5×10 225×10 考点：科学记数法—表示较大的数． n

分析：科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于2.25亿有9位，所以可以确定n=9﹣1=8．

8

解答：解：2.25亿=225 000 000=2.25×10． 故选B．

点评：此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键

4．（3分）（2015•潜江）计算（﹣2ab）的结果是（ ） 63635363 A．B． C． D． ﹣6ab ﹣8ab ﹣8ab 8ab 考点：幂的乘方与积的乘方． 分析：根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．

2363

解答：解：（﹣2ab）=﹣8ab． 故选B． 点评：本题考查了幂的乘方和积的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则． 5．（3分）（2015•潜江）某合作学习小组的6名同学在一次数学测试中，成绩分布为76，88，96，82，78，96，这组数据的中位数是（ ）

23

82 85 88 96 A．B． C． D． 考点：中位数． 分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．

解答：解：将这组数据按从小到大的顺序排列为：76，78，82，88，96，96，处于中间位置的两个数是82和88，

那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是（82+88）÷2=85． 故选B．

点评：本题为统计题，考查中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错

6．（3分）（2015•潜江）不等式组 A． B． 的解集在数轴上表示正确的是（ ） C． D． 考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组． 分析：根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．

解答：解：，

由①得：x≥1， 由②得：x＜2，

在数轴上表示不等式的解集是：

故选：D．

点评：本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式的解集等知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键 7．（3分）（2015•潜江）下列各式计算正确的是（ ） += A．B． C． 4﹣3=1 2×3=6 D． ÷=3 考点：二次根式的乘除法；二次根式的加减法． 分析：分别根据二次根式有关的运算法则，化简分析得出即可． 解答：解：A.，无法计算，故此选项错误， B.4﹣3=，故此选项错误， C.2×3=6×3=18，故此选项错误，

D.=，此选项正确，

故选D．

点评：此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式基本运算是解题关键

90

8．（3分）（2015•潜江）已知一块圆心角为300°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥的底面圆的直径是80cm，则这块扇形铁皮的半径是（ ） 24cm 48cm 96cm 192cm A．B． C． D． 考点：圆锥的计算． 分析：利用底面周长=展开图的弧长可得．

解答：解：设这个扇形铁皮的半径为rcm，由题意得=π×80，

解得r=48．

故这个扇形铁皮的半径为48cm， 故选B．

点评：本题考查了圆锥的计算，解答本题的关键是确定圆锥的底面周长=展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值． 9．（3分）（2015•潜江）在下面的网格图中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都是网格线的交点，已知B，C两点的坐标分别为（﹣1，﹣1），（1，﹣2），将△ABC绕点C顺时针旋转90°，则点A的对应点的坐标为（ ）

A．（4，1） B． （4，﹣1） C． （5，1） D． （5，﹣1） 考点：坐标与图形变化-旋转． 专题：几何变换．

分析：先利用B，C两点的坐标画出直角坐标系得到A点坐标，再画出△ABC绕点C顺时针旋转90°后点A的对应点的A′，然后写出点A′的坐标即可． 解答：解：如图，A点坐标为（0，2），

将△ABC绕点C顺时针旋转90°，则点A的对应点的A′的坐标为（5，﹣1）． 故选D．

点评：本题考查了坐标与图形变化：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．

10．（3分）（2015•潜江）二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x=1，给

2

出下列结论：①abc＞0；②b=4ac；③4a+2b+c＞0；④3a+c＞0，其中正确的结论有（ ）

2

91

A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 考点：二次函数图象与系数的关系． 专题：计算题．

分析：根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与x轴交点个数，以及x=﹣1，x=2对应y值的正负判断即可．

解答：解：由二次函数图象开口向上，得到a＞0；与y轴交于负半轴，得到c＜0，

∵对称轴在y轴右侧，且﹣=1，即2a+b=0，

∴a与b异号，即b＜0， ∴abc＞0，选项①正确；

∵二次函数图象与x轴有两个交点，

22

∴△=b﹣4ac＞0，即b＞4ac，选项②错误； ∵原点O与对称轴的对应点为（2，0），

∴x=2时，y＜0，即4a+2b+c＜0，选项③错误； ∵x=﹣1时，y＞0， ∴a﹣b+c＞0，

把b=﹣2a代入得：3a+c＞0，选项④正确， 故选B

点评：此题考查了二次函数图象与系数的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（3分）（2015•潜江）已知3a﹣2b=2，则9a﹣6b= 6 ． 考点：代数式求值．

分析：把3a﹣2b整体代入进行计算即可得解． 解答：解：∵3a﹣2b=2，

∴9a﹣6b=3（3a﹣2b）=3×2=6， 故答案为；6．

点评：本题考查了代数式求值，整体思想的利用是解题的关键 12．（3分）（2015•潜江）清明节期间，七（1）班全体同学分成若干小组到传统教育基地缅怀先烈．若每小组7人，则余下3人；若每小组8人，则少5人，由此可知该班共有 59 名同学．

考点：二元一次方程的应用．

分析：设一共分为x个小组，该班共有y名同学，根据若每小组7人，则余下3人；若每小组8人，则少5人，列出二元一次方程组，进而求出即可． 解答：解：设一共分为x个小组，该班共有y名同学，

92

根据题意得，

解得．

答：该班共有59名同学． 故答案为59． 点评：考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程组，再求解． 13．（3分）（2015•潜江）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=26°，则∠CDE= 71° ．

考点：翻折变换（折叠问题）．

分析：根据三角形内角和定理求出∠B，根据折叠求出∠ECD和∠CED，根据三角形内角和定理求出即可．

解答：解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=26°， ∴∠B=°，

∵将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，∠ACB=90°， ∴∠BCD=∠ECD=45°，∠CED=∠B=°， ∴∠CDE=180°﹣∠ECD﹣∠CED=71°， 故答案为：71°．

点评：本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理的应用，能求出∠CED和∠ECD的度数是解此题的关键，注意：折叠后的两个图形全等． 14．（3分）（2015•潜江）把三张形状、大小相同但画面不同的风景图片，都按同样的方式剪成相同的两片，然后堆放到一起混合洗匀，从这堆图片中随机抽出两张，这两张图片恰好

能组成一张原风景图片的概率是

．

考点：列表法与树状图法．

分析：把三张风景图片剪成相同的两片后用A1，A2，B1，B2，C1，C2来表示，根据题意画树形图，数出可能出现的结果利用概率公式即可得出答案．

解答：解：设三张风景图片分别剪成相同的两片为：A1，A2，B1，B2，C1，C2； 如图所示：

，

93

所有的情况有36种，符合题意的有6种，故这两张图片恰好能组成一张原风景图片的概率是：． 故答案为：．

点评：本题考查了列表法和树状图法的相关知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 15．（3分）（2015•潜江）菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，），动点P从点A出发，沿A→B→C→D→A→B→…的路径，在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动，移动到第2015秒时，点P的坐标为 （0.5，﹣

） ．

考点：菱形的性质；坐标与图形性质． 专题：规律型．

分析：先根据勾股定理求出菱形的边长，再根据点P的运动速度求出沿A→B→C→D→A所需的时间，进而可得出结论． 解答：解：∵A（1，0），B（0，），

∴AB==2．

∵点P的运动速度为0.5米/秒， ∴从点A到点B所需时间=

=4秒，

∴沿A→B→C→D→A所需的时间=4×4=16秒． ∵

=125…15，

∴移动到第2015秒时，点P恰好运动到AD的中点， ∴P（0.5，﹣

）．

）．

故答案为：（0.5，﹣

点评：本题考查的是菱形的性质，根据题意得出点P运动一周所需的时间是解答此题的关键

三、解答题（本大题共10小题，满分75分） 16．（5分）（2015•潜江）先化简，再求值：

•

，其中a=5．

94

考点：分式的化简求值． 专题：计算题．

分析：原式约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．

解答：解：原式=•=，

当a=5时，原式=．

点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键 17．（5分）（2015•潜江）我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD，请你写出与筝形ABCD的角或者对角线有关的一个结论，并证明你的结论．

考点：全等三角形的判定与性质． 专题：计算题．

分析：AC与BD垂直，理由为：利用SSS得到三角形ABD与三角形CBD全等，利用全等三角形对应角相等得到BD为角平分线，利用三线合一性质即可得证． 解答：

解：AC⊥BD，理由为： 在△ABD和△CBD中，

，

∴△ABD≌△CBD（SSS）， ∴∠ABO=∠CBO， ∵AB=CB， ∴BD⊥AC． 点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 18．（6分）（2015•潜江）某校男子足球队的年龄分布如下面的条形图所示．

95

（1）求这些队员的平均年龄；

（2）下周的一场校际足球友谊赛中，该校男子足球队将会有11名队员作为首发队员出场，不考虑其他因素，请你求出其中某位队员首发出场的概率． 考点：条形统计图；加权平均数；概率公式． 分析：（1）根据加权平均数的计算公式进行计算即可；

（2）用首发队员出场的人数除以足球队的总人数即可求解． 解答：解：（1）该校男子足球队队员的平均年龄是：

（13×2+14×6+15×8+16×3+17×2+18×1）÷22=330÷22=15（岁）． 故这些队员的平均年龄是15岁；

（2）∵该校男子足球队一共有22名队员，将会有11名队员作为首发队员出场，

∴不考虑其他因素，其中某位队员首发出场的概率为：=．

点评：本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．除此之外，本题也考查了加权平均数与概率公式． 19．（6分）（2015•潜江）热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部的俯角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处于地面距离为420米，求这栋楼的高度．

考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 分析：过A作AE⊥BC，交CB的延长线于点E，先解Rt△ACD，求出CD的长，则AE=CD，再解Rt△ABE，求出BE的长，然后根据BC=AD﹣BE即可得到这栋楼的高度． 解答：解：过A作AE⊥BC，交CB的延长线于点E， 在Rt△ACD中，

∵∠CAD=30°，AD=420米，

∴CD=AD•tan30°=420×=140（米），

96

∴AE=CD=140米． 在Rt△ABE中，

∵∠BAE=30°，AE=140∴BE=AE•tan30°=140

×

米，

=140（米），

∴BC=AD﹣BE=420﹣140=280（米），

答：这栋楼的高度为280米．

点评：本题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，在此类题目中常用的方法是利用作高线转化为直角三角形进行计算．

20．（7分）（2015•潜江）已知关于x的一元二次方程x﹣4x+m=0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；

（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足5x1+2x2=2，求实数m的值． 考点：根的判别式；根与系数的关系．

2

分析：（1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围；

2

（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=4，x1x2=m，再变形已知条件得到（x1+x2）﹣4x1x2=31+|x1x2|，代入即可得到结果． 解答：解：（1）∵方程有实数根，

2

∴△=（﹣4）﹣4m=16﹣4m≥0， ∴m≤4；

（2）∵x1+x2=4，

∴5x1+2x2=2（x1+x2）+3x1=2×4+3x1=2， ∴x1=﹣2，

22

把x1=﹣2代入x﹣4x+m=0得：（﹣2）﹣4×（﹣2）+m=0， 解得：m=﹣12．

22

点评：本题考查了一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系 21．（8分）（2015•潜江）如图，▱ABCD放置在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（6，0），D（0，3），反比例函数的图象经过点C． （1）求反比例函数的解+析+式；

2

97

（2）将▱ABCD向上平移，使点B恰好落在双曲线上，此时A，B，C，D的对应点分别为A′，B′，C′，D′，且C′D′与双曲线交于点E，求线段AA′的长及点E的坐标．

考点：平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解+析+式．专题： 计算题．分析：

（1）由A与B的坐标求出AB的长，根据四边形ABCD为平行四边形，求出DC的长，进

而确定出C坐标，设反比例解+析+式为y=，把C坐标代入求出k的值，即可确定出反比例解+析+式；

（2）根据平移的性质得到B与B′横坐标相同，代入反比例解+析+式求出B′纵坐标得到平移的距离，即为AA′的长，求出D′纵坐标，即为E纵坐标，代入反比例解+析+式求出E横坐标，即可确定出E坐标． 解答：解：（1）∵▱ABCD中，A（2，0），B（6，0），D（0，3）， ∴AB=CD=4，DC∥AB， ∴C（4，3）， 设反比例解+析+式为y=，把C坐标代入得：k=12， 则反比例解+析+式为y=

；

（2）∵B（6，0），

∴把x=6代入反比例解+析+式得：y=2，即B′（6，2）， ∴平行四边形ABCD向上平移2个单位，即AA′=2， ∴D′（0，5）， 把y=5代入反比例解+析+式得：x=

，即E（

，5）．

点评：此题考查了平行四边形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求反比例函数解+析+式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键 22．（8分）（2015•潜江）如图，AC是⊙O的直径，OB是⊙O的半径，PA切⊙O于点A，PB与AC的延长线交于点M，∠COB=∠APB．

98

（1）求证：PB是⊙O的切线；

（2）当OB=3，PA=6时，求MB，MC的长．

考点：切线的判定与性质． 分析：（1）根据切线的性质，可得∠MAP=90°，根据直角三角形的性质，可得∠P+M=90°，根据余角的性质，可得∠M+∠MOB=90°，根据直角三角形的判定，可得∠MOB=90°，根据切线的判定，可得答案；

（2）根据相似三角形的判定与性质，可得解答：（1）证明：∵PA切⊙O于点A， ∴∠MAP=90°， ∴∠P+M=90°． ∵∠COB=∠APB， ∴∠M+∠MOB=90°，

∴∠MOB=90°，即OB⊥PB， ∵PB经过直径的外端点， ∴PB是⊙O的切线；

（2）∵∠COB=∠APB，∠OBM=∠PAM， ∴△OBM∽△APM， ∴

=

=

，

==，根据解方程组，可得答案．

= ①， = ② 联立①②得解得

，

，

当OB=3，PA=6时，MB=4，MC=2． 点评：本题考查了切线的判定与性质，（1）利用了切线的判定与性质，直角三角形的判定与性质，余角的性质；（2）利用了相似三角形的判定与性质，解方程组． 23．（8分）（2015•潜江）随着信息技术的快速发展，“互联网+”渗透到我们日常生活的各个领域，网上在线学习交流已不再是梦，现有某教学网站策划了A，B两种上网学习的月收费方式： 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/（元/min） A 7 25 0.01 B m n 0.01 设每月上网学习时间为x小时，方案A，B的收费金额分别为yA，yB．

99

（1）如图是yB与x之间函数关系的图象，请根据图象填空：m= 10 ；n= 50 （2）写出yA与x之间的函数关系式．

（3）选择哪种方式上网学习合算，为什么？

考点：一次函数的应用． 分析：（1）由图象知：m=10，n=50；

（2）根据已知条件即可求得yA与x之间的函数关系式为：当x≤25时，yA=25；当x＞25时，yA=7+（x﹣25）×0.01，

（3）先求出yB与x之间函数关系为：当x≤50时，yB=10；当x＞50时，yB=10+（x﹣50）×0.01=0.01x+9.5；然后分段求出哪种方式上网学习合算即可． 解答：解：（1）由图象知：m=10，n=50；

（2）yA与x之间的函数关系式为： 当x≤25时，yA=25，

当x＞25时，yA=7+（x﹣25）×0.01， ∴yA=0.01x+6.75， ∴yA=

（3）∵yB与x之间函数关系为：当x≤50时，yB=10， 当x＞50时，yB=10+（x﹣50）×0.01=0.01x+9.5 当0＜x≤25时，yA=25，yB=50， ∴yA＜yB，

∴选择A方式上网学习合算，

当25＜x≤50时．yA=yB，即0.01x+6.75=10，解得；x=32.5， ∴当25＜x＜32.5时，yA＜yB，选择A方式上网学习合算， 当x=32.5时，yA=yB，选择哪种方式上网学习都行， 当32.5＜x≤50，yA＞yB，选择B方式上网学习合算，

当x＞50时，∵yA=0.01x+6.75，yB=0.01x+9.5，yA＜yB，∴选择A方式上网学习合算， 综上所述：当0＜x＜32.5或x＞50时，yA＜yB，选择A方式上网学习合算， 当x=32.5时，yA=yB，选择哪种方式上网学习都行， 当32.5＜x≤50时，yA＞yB，选择B方式上网学习合算．

点评：本题考查了一次函数的应用，得到两种收费方式的关系式是解决本题的关键．注意较合算的收费的方式应通过具体值的代入得到结果． 24．（10分）（2015•潜江）已知∠MAN=135°，正方形ABCD绕点A旋转．

100

；

（1）当正方形ABCD旋转到∠MAN的外部（顶点A除外）时，AM，AN分别与正方形ABCD的边CB，CD的延长线交于点M，N，连接MN．

①如图1，若BM=DN，则线段MN与BM+DN之间的数量关系是 MN=BM+DN ； ②如图2，若BM≠DN，请判断①中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（2）如图3，当正方形ABCD旋转到∠MAN的内部（顶点A除外）时，AM，AN分别与直线BD交于点M，N，探究：以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由．

考点：几何变换综合题． 分析：（1）①如图1，先利用SAS证明△ADN≌△ABM，得出AN=AM，∠NAD=∠MAB，

再计算出∠NAD=∠MAB=（360°﹣135°﹣90°）=67.5°．作AE⊥MN于E，根据等腰三角形三线合一的性质得出MN=2NE，∠NAE=∠MAN=67.5°．再根据AAS证明△ADN≌△AEN，得出DN=EN，进而得到MN=BM+DN；

②如图2，先利用SAS证明△ABM≌△ADP，得出AM=AP，∠1=∠2=∠3，再计算出∠PAN=360°﹣∠MAN﹣（∠3+∠4）=360°﹣135°﹣90°=135°．然后根据SAS证明△ANM≌△ANP，得到MN=PN，进而得到MN=BM+DN；

（2）如图3，先由正方形的性质得出∠BDA=∠DBA=45°，根据等角的补角相等得出∠MDA=∠NBA=135°．再证明∠1=∠3．根据两角对应相等的两三角形相似得出△ANB∽△MAD，那么

2

=

2

，又AB=AD=

2

DB，变形得出BD=2BN•MD，然后证明

2

2

2

2

（MD+BD）+（BD+BN）=（DM+BD+BN），即MB+DN=MN，根据勾股定理的 逆定理即可得出以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是直角三角形． 解答：解：（1）①如图1，若BM=DN，则线段MN与BM+DN之间的数量关系是MN=BM+DN．理由如下： 在△ADN与△ABM中，

，

∴△ADN≌△ABM（SAS）， ∴AN=AM，∠NAD=∠MAB， ∵∠MAN=135°，∠BAD=90°，

∴∠NAD=∠MAB=（360°﹣135°﹣90°）=67.5°，

101

作AE⊥MN于E，则MN=2NE，∠NAE=∠MAN=67.5°． 在△ADN与△AEN中，

，

∴△ADN≌△AEN（AAS）， ∴DN=EN，

∵BM=DN，MN=2EN， ∴MN=BM+DN．

故答案为MN=BM+DN；

②如图2，若BM≠DN，①中的数量关系仍成立．理由如下： 延长NC到点P，使DP=BM，连结AP． ∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠ABM=∠ADC=90°． 在△ABM与△ADP中，

，

∴△ABM≌△ADP（SAS）， ∴AM=AP，∠1=∠2=∠3， ∵∠1+∠4=90°， ∴∠3+∠4=90°， ∵∠MAN=135°，

∴∠PAN=360°﹣∠MAN﹣（∠3+∠4）=360°﹣135°﹣90°=135°． 在△ANM与△ANP中，

，

∴△ANM≌△ANP（SAS）， ∴MN=PN，

∵PN=DP+DN=BM+DN， ∴MN=BM+DN；

（2）如图3，以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是直角三角形．理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BDA=∠DBA=45°， ∴∠MDA=∠NBA=135°．

∵∠1+∠2=45°，∠2+∠3=45°， ∴∠1=∠3．

在△ANB与△MAD中，

，

102

∴△ANB∽△MAD， ∴

=

2

，

∴AB=BN•MD， ∵AB=

DB，

DB）=BD，

2

2

∴BN•MD=（

2

∴BD=2BN•MD，

2222222

∴MD+2MD•BD+BD+BD+2BD•BN+BN=MD+BD+BN+2MD•BD+2BD•BN+2BN•MD，

∴（MD+BD）+（BD+BN）=（DM+BD+BN），

222

即MB+DN=MN，

∴以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是直角三角形．

2

2

2

点评：本题是几何变换综合题，其中涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，补角的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理等知识，综合性较强，有一定难度．准确作出辅助线，利用数形结合是解（1）小题的关键，证明△ANB∽△MAD是解（2）小题的关键．

25．（12分）（2015•潜江）已知抛物线经过A（﹣3，0），B（1，0），C（2，）三点，其对称轴交x轴于点H，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点C，与抛物线交于另一点D（点D在点C的左边），与抛物线的对称轴交于点E． （1）求抛物线的解+析+式；

（2）如图1，当S△EOC=S△EAB时，求一次函数的解+析+式；

（3）如图2，设∠CEH=α，∠EAH=β，当α＞β时，直接写出k的取值范围．

103

考点：二次函数综合题．

分析：（1）把A（﹣3，0），B（1，0），C（2，）代入y=ax+bx+c，解方程组即可； （2）把C点坐标代入直线CD，由S△EOC=S△EAB得关于k、b的方程组，解方程组即可； （3）设CD的解+析+式为y=kx+﹣2k，当y=0和x=﹣1时，求出FH、EH、AH，根据tanα＞tanβ列不等式可求出k的取值范围．

2

解答：解：（1）设抛物线的解+析+式为y=ax+bx+c， ∵抛物线经过A（﹣3，0），B（1，0），C（2，）三点，

2

∴，

∴，

∴抛物线的解+析+式为y=x+x﹣； （2）如图1所示，

将C点坐标代入直线CD，得 2k+b= ①．

当x=0时，y=b，即F（0，b），

当x=﹣1时，y=﹣k+b，即E（﹣1，﹣k+b）．

由S△EOC=S△EAB时，得×[2﹣（﹣1）]b=[1﹣（﹣3）]（﹣k+b） ②． 联立方程①②，得

2

，

104

解得．

当S△EOC=S△EAB时，一次函数的解+析+式为y=（3）如图2所示，

设CD的解+析+式为y=kx+﹣2k， 当y=0时，kx+﹣2k=0，解得x=2﹣FH=3﹣

．

，F（2﹣

x+，

，0）．

当x=﹣1时，y=﹣3k，即E（﹣1，﹣3k）．AH=﹣1﹣（﹣3）=2． 当α＞β时，tanα＞tanβ，即

＞

，

＞

3

．

2

整理得：36k﹣60k+k+20＞0 解得

＜k＜

．

点评：本题考查的是一次函数、二次函数和锐角三角函数的综合应用，掌握待定系数法求函

数解+析+式和锐角三角函数的概念是解题的关键．

105

湖北省随州市2015年中考数学试卷

一、单项选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分随州市2015年初中毕业升学考试数学试题

1．在﹣1，﹣2，0，1四个数中最小的数是（ ） 0 1 A．﹣1 B． ﹣2 C． D． 考点： 有理数大小比较． 分析： 根据正数大于零，零大于负数，可得答案． 解答： 解：由正数大于零，零大于负数，得 1＞0＞﹣1＞﹣2， 故选：B． 点评： 本题考查了有理数大小比较，正数大于零，零大于负数，注意两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 2．（3分）（2015•随州）如图，AB∥CD，∠A=50°，则∠1的大小是（ ）

50° A． 120° B． 130° C． 150° D． 考点： 平行线的性质． 分析： 由平行线的性质可得出∠2，根据对顶角相得出∠1． 解答： 解：如图： ∵AB∥CD， ∴∠A+∠2=180°， ∴∠2=130°， ∴∠1=∠2=130°． 故选C． 点评： 本题考查了平行线的性质，关键是根据两直线平行同旁内角互补和对顶角相等分析． 3．（3分）（2015•随州）用配方法解一元二次方程x﹣6x﹣4=0，下列变形正确的是（ ） 2222 A．（x﹣6）=﹣4+36 B． （x﹣6）=4+36 C． （x﹣3）=﹣4+9 D． （x﹣3）=4+9 考点： 解一元二次方程-配方法． 分析： 根据配方法，可得方程的解． 2

106

2解答： 解：x﹣6x﹣4=0， 2移项，得x﹣6x=4， 2配方，得（x﹣3）=4+9． 故选：D． 点评： 本题考查了解一元一次方程，利用配方法解一元一次方程：移项、二次项系数化为1，配方，开方． 4．（3分）（2015•随州）下列说法正确的是（ ） A．“购买1张彩票就中奖”是不可能事件 “掷一次骰子，向上一面的点数是6”是随机事件 B． 了解我国青年人喜欢的电视节目应作全面调查 C．22 D．甲、乙两组数据，若S甲＞S乙，则乙组数据波动大 考点： 随机事件；全面调查与抽样调查；方差． 分析： 根据随机事件，可判断A、B；根据调查方式，可判断C；根据方差的性质，可判断D． 解答： 解：A、“购买1张彩票就中奖”是随机事件，故A错误； B、”掷一次骰子，向上一面的点数是6”是随机事件，故B正确； C、了解我国青年人喜欢的电视节目应作抽样调查，故C错误； D、甲、乙两组数据，若S甲＞S乙，则甲组数据波动大，故D错误； 故选：B． 点评： 本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．用到的知识点为：确定事件包括必然事件和不可能事件．必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 5．（3分）（2015•随州）如图，△ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（ ）

22 8 9 10 11 A．B． C． D． 考点： 线段垂直平分线的性质． 分析： 由ED是AB的垂直平分线，可得AD=BD，又由△BDC的周长=DB+BC+CD，即可得△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC． 解答： 解：∵ED是AB的垂直平分线， ∴AD=BD， ∵△BDC的周长=DB+BC+CD， ∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10． 故选C． 107

点评： 本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长的计算，掌握转化思想的应用是解题的关键． 6．（3分）（2015•随州）若代数式

+

有意义，则实数x的取值范围是（ ）

x≠1 x≥0 x≠0 A．B． C． D． x≥0且x≠1 考点： 二次根式有意义的条件；分式有意义的条件． 分析： 先根据分式及二次根式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可． 解答： 解：∵代数式+有意义， ∴， 解得x≥0且x≠1． 故选D． 点评： 本题考查的是二次根式及分式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键． 7．（3分）（2015•随州）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（ ）

∠AED=∠B A．∠ADE=∠C B． C． = D． = 考点： 相似三角形的判定． 分析： 由于两三角形有公共角，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对A、B选项进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对C、D选项进行判断． 解答： 解：∵∠DAE=∠CAB， ∴当∠AED=∠B或∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED； 当=时，△ABC∽△AED． 故选D． 点评： 本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似． 8．（3分）（2015•随州）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（ ）

108

222a=2Rsin36° a=2rtan36° r=Rcos36° A．B． C． D． R﹣r=a 考点： 正多边形和圆；解直角三角形． 分析： 根据圆内接正五边形的性质求出∠BOC，再根据垂径定理求出∠1=36°，然后利用勾股定理和解直角三角形对各选项分析判断即可得解． 解答： 解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆， ∴∠BOC=×360°=72°， ∴∠1=∠BOC=×72°=36°， R﹣r=（a）=a， a=Rsin36°， a=2Rsin36°； a=rtan36°， a=2rtan36°， cos36°=， r=Rcos36°， 222所以，关系式错误的是R﹣r=a． 故选A． 2222 点评： 本题考查了圆内接四边形，解直角三角形，熟练掌握圆内接正五边形的性质并求出中心角的度数是解题的关键． 9．（3分）（2015•随州）在直角坐标系中，将点（﹣2，3）关于原点的对称点向左平移2个单位长度得到的点的坐标是（ ） A．（4，﹣3） B． （﹣4，3） C． （0，﹣3） D． （0，3） 考点： 关于原点对称的点的坐标；坐标与图形变化-平移． 分析： 根据关于原点的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得关于原点的对称点， 109

根据点的坐标向左平移减，可得答案． 解答： 解：在直角坐标系中，将点（﹣2，3）关于原点的对称点是（2，﹣3），再向左平移2个单位长度得到的点的坐标是（0，﹣3）， 故选：C． 点评： 本题考查了点的坐标，关于原点的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数；点的坐标向左平移减，向右平移加，向上平移加，向下平移减． 10．（3分）（2015•随州）甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，设甲、乙两人间距离为s（单位：千米），甲行驶的时间为t（单位：小时），s与t之间的函数关系如图所示，有下列结论： ①出发1小时时，甲、乙在途中相遇；

②出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60千米； ③出发3小时时，甲、乙同时到达终点； ④甲的速度是乙速度的一半． 其中，正确结论的个数是（ ）

4 A． 3 B． 2 C． 1 D． 考点： 一次函数的应用． 分析： 根据题意结合横纵坐标的意义得出辆摩托车的速度进而分别分析得出答案． 解答： 解：由图象可得：出发1小时，甲、乙在途中相遇，故①正确； 甲骑摩托车的速度为：120÷3=40（千米/小时），设乙开汽车的速度为a千米/小时， 则， 解得：a=80， ∴乙开汽车的速度为80千米/小时， ∴甲的速度是乙速度的一半，故④正确； ∴出发1.5小时，乙比甲多行驶了：1.5×（80﹣40）=60（千米），故②正确； 乙到达终点所用的时间为1.5小时，甲得到终点所用的时间为3小时，故③错误； ∴正确的有3个， 故选：B． 点评： 此题主要考查了一次函数的应用，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义是解题关键． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分 11．（3分）（2015•随州）4的算术平方根是 2 ，9的平方根是 ±3 ，﹣27的立方根是 ﹣3 ．

110

考点： 立方根；平方根；算术平方根． 分析： 根据算式平方根、平方根和立方根的定义求出即可． 解答： 解：4的算术平方根是2，9的平方根是±3，﹣27的立方根是﹣3． 故答案为：2；±3，﹣3． 点评： 本题考查了对算术平方根、平方根和立方根的定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力． 12．（3分）（2015•随州）为创建“全国环保模范城”，我市对白云湖73个排污口进行了封堵，

每年可减少污水排放185000吨，将185000用科学记数法表示为 1.85×10 ． 考点： 科学记数法—表示较大的数． n分析： 科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位， n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 5解答： 解：将185000用科学记数法表示为：1.85×10． 5

故答案为：1.85×10． n点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 13．（3分）（2015•随州）如图是一个长方体的三视图（单位：cm），根据图中数据计算这个长方体的体积是 24 cm．

3

5

考点： 由三视图判断几何体． 分析： 根据三视图我们可以得出这个几何体应该是个长方体，它的体积应该是33×2×4=24cm． 解答： 解：该几何体的主视图以及左视图都是相同的矩形，俯视图也为一个矩形，可确定这个几何体是一个长方体， 依题意可求出该几何体的体积为3×2×4=24cm． 3答：这个长方体的体积是24cm． 故答案为：24． 点评： 考查了由三视图判断几何体，本题要先判断出几何体的形状，然后根据其体积公式进行计算即可． 14．（3分）（2015•随州）某校抽样调查了七年级学生每天体育锻炼时间，整理数据后制成了如下所示的频数分布表，这个样本的中位数在第 2 组． 组别 时间（小时） 频数（人）

111

3第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 0≤t＜0.5 0.5≤t＜1 1≤t＜1.5 1.5≤t＜2 2≤t＜2.5 12 24 18 10 6 考点： 中位数；频数（率）分布表． 分析： 共12+24+18+10+6=70个数据，中位数为第35和第36个数的平均数，依此即可求解． 解答： 解：共12+24+18+10+6=70个数据， 12+24=36， 所以第35和第36个都在第2组， 所以这个样本的中位数在第2组． 故答案为：2． 点评： 本题考查了利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．同时考查了中位数的求法． 15．（3分）（2015•随州）观察下列图形规律：当n= 5 时，图形“●”的个数和“△”的个数相等．

考点： 规律型：图形的变化类． 分析： 首先根据n=1、2、3、4时，“●”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n个图形中“●”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“△”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n个“△”的个数是；最后根据图形“●”的个数和“△”的个数相等，求出n的值是多少即可． 解答： 解：∵n=1时，“●”的个数是3=3×1； n=2时，“●”的个数是6=3×2； n=3时，“●”的个数是9=3×3； n=4时，“●”的个数是12=3×4； ∴第n个图形中“●”的个数是3n； 又∵n=1时，“△”的个数是1=n=2时，“△”的个数是3=n=3时，“△”的个数是6=n=4时，“△”的个数是10=； ； ； ； 112

∴第n个“△”的个数是由3n=2； ， 可得n﹣5n=0， 解得n=5或n=0（舍去）， ∴当n=5时，图形“●”的个数和“△”的个数相等． 故答案为：5． 点评： 此题主要考查了规律型：图形的变化类问题，要熟练掌握，解答此类问题的关键是：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 16．（3分）（2015•随州）在▱ABCD中，AB＜BC，已知∠B=30°，AB=2，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，使点B′落在▱ABCD所在的平面内，连接B′D．若△AB′D是直角三角形，则BC的长为 4或6 ． 考点： 翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质． 分析： 在▱ABCD中，AB＜BC，要使△AB′D是直角三角形，有两种情况：∠B′AD=90°或∠AB′D=90°，画出图形，分类讨论即可． 解答： 解：当∠B′AD=90°AB＜BC时，如图1， ∵AD=BC，BC=B′C， ∴AD=B′C， ∵AC∥B′D，∠B′AD=90°， ∴∠B′GC=90°， ∵∠B=30°，AB=2， ∴∠AB′C=30°， ∴GC= B′C= BC， ∴G是BC的中点， 在RT△ABG中，BG=AB=×2=3， ∴BC=6； 当∠AB′D=90°时，如图2， ∵AD=BC，BC=B′C， ∴AD=B′C， ∵AC∥B′D， ∴四边形ACDB′是等腰梯形， ∵∠AB′D=90°， ∴四边形ACDB′是矩形， ∴∠BAC=90°， ∵∠B=30°，AB=2， ∴BC=AB÷=2×=4， 113

∴当BC的长为4或6时，△AB′D是直角三角形． 故答案为：4或6． 点评： 本题主要考查了翻折变换的性质，解题的关键是画出图形，发现存在两种情况，进行分类讨论． 三、解答题：本大题共9小题，共72分 17．（6分）（2015•随州）解不等式组

请结合题意，完成本题解答．

（Ⅰ）解不等式①，得 x＞2 ； （Ⅱ）解不等式②，得 x≤4 ；

（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：

（Ⅳ）原不等式组的解集为 2＜x≤4 ． 考点： 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集． 分析： 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可． 解答： 解：（I）解不等式①得，x＞2； （II）解不等式②得，x≤4； （III）在数轴上表示为：

； （IV）故不等式组的解集为：2＜x≤4．

114

故答案为：x＞2，x≤4，2＜x≤4． 点评： 本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 5322

18．（6分）（2015•随州）先化简，再求值：（2+a）（2﹣a）+a（a﹣5b）+3ab÷（﹣ab），其中ab=﹣．

考点： 整式的混合运算—化简求值． 专题： 计算题． 分析： 原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，最后一项先计算乘方运算，再计算除法运算，合并得到最简结果，把ab的值代入计算即可求出值． 22解答： 解：原式=4﹣a+a﹣5ab+3ab=4﹣2ab， 当ab=﹣时，原式=4+1=5． 点评： 此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 19．（6分）（2015•随州）端午节前夕，小东的父母准备购买若干个粽子和咸鸭蛋（每个粽子的价格相同，每个咸鸭蛋的价格相同）．已知粽子的价格比咸鸭蛋的价格贵1.8元，花30元购买粽子的个数与花12元购买咸鸭蛋的个数相同，求粽子与咸鸭蛋的价格各多少？ 考点： 分式方程的应用． 专题： 应用题． 分析： 设咸鸭蛋的价格为x元，则粽子的价格为（1.8+x）元，根据花30元购买粽子的个数与花12元购买咸鸭蛋的个数相同，列出分式方程，求出方程的解得到x的值，即可得到结果． 解答： 解：设咸鸭蛋的价格为x元，则粽子的价格为（1.8+x）元， 根据题意得：=， 去分母得：30x=12x+21.6， 解得：x=1.2， 经检验x=1.2是分式方程的解，且符合题意， 1.8+x=1.8+1.2=3（元）， 故咸鸭蛋的价格为1.2元，粽子的价格为3元． 点评： 此题考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．航行问题常用的等量关系为：花30元购买粽子的个数与花12元购买咸鸭蛋的个数相同． 20．（8分）（2015•随州）如图，反比例函数y=（k＜0）的图象与矩形ABCD的边相交于E、F两点，且BE=2AE，E（﹣1，2）． （1）求反比例函数的解+析+式； （2）连接EF，求△BEF的面积．

115

考点： 反比例函数与一次函数的交点问题． 分析： （1）将E（﹣1，2）代入y=，利用待定系数法即可求出反比例函数的解+析+式； （2）由矩形的性质及已知条件可得B（﹣3，2），再将x=﹣3代入y=﹣，求出y的值，得到CF=，那么BF=2﹣=，然后根据△BEF的面积=BE•BF，将数值代入计算即可． 解答： 解：（1）∵反比例函数y=（k＜0）的图象过点E（﹣1，2）， ∴k=﹣1×2=﹣2， ∴反比例函数的解+析+式为y=﹣； （2）∵E（﹣1，2）， ∴AE=1，OA=2， ∴BE=2AE=2， ∴AB=AE+BE=1+2=3， ∴B（﹣3，2）． 将x=﹣3代入y=﹣，得y=， ∴CF=， ∴BF=2﹣=， ∴△BEF的面积=BE•BF=×2×=． 点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解+析+式，矩形的性质，三角形的面积，正确求出BF的值是解决第（2）小题的关键． 21．（8分）（2015•随州）为推进“传统文化进校园”活动，某校准备成立“经典诵读”、“传统礼仪”、“民族器乐”和“地方戏曲”等四个课外活动小组．学生报名情况如图（每人只能选择一个小组）：

116

（1）报名参加课外活动小组的学生共有 100 人，将条形图补充完整；

（2）扇形图中m= 25 ，n= 108 ；

（3）根据报名情况，学校决定从报名“经典诵读”小组的甲、乙、丙、丁四人中随机安排两人到“地方戏曲”小组，甲、乙恰好都被安排到“地方戏曲”小组的概率是多少？请用列表或画树状图的方法说明． 考点： 列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图． 分析： （1）用地方戏曲的人数除以其所占的百分比即可求得总人数，减去其它小组的频数即可求得民族乐器的人数，从而补全统计图； （2）根据各小组的频数和总数分别求得m和n的值即可； （3）列树状图将所有等可能的结果列举出来，然后利用概率公式求解即可． 解答： 解：（1）∵根据两种统计图知地方戏曲的有13人，占13%， ∴报名参加课外活动小组的学生共有13÷13%=100人， 参加民族乐器的有100﹣32﹣25﹣13=30人， 统计图为： （2）∵m%=∴m=25， n=×360=108， ×100%=25%， 故答案为：25，108； （3）树状图分析如下： ∵共有12种情况，恰好选中甲、乙的有2种，

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∴P（选中甲、乙）==． 点评： 本题考查了扇形统计图、条形统计图及列表与树状图法求概率的知识，解题的关键是能够列树状图将所有等可能的结果列举出来，难度不大． 22．（8分）（2015•随州）如图，射线PA切⊙O于点A，连接PO．

（1）在PO的上方作射线PC，使∠OPC=∠OPA（用尺规在原图中作，保留痕迹，不写作法），并证明：PC是⊙O的切线； （2）在（1）的条件下，若PC切⊙O于点B，AB=AP=4，求

的长．

考点： 切线的判定与性质；弧长的计算；作图—基本作图． 分析： （1）按照作一个角等于已知角的作图方法作图即可，连接OA，作OB⊥PC，根据角平分线的性质证明OA=OB即可证明PC是⊙O的切线； （2）首先证明△PAB是等边三角形，则∠APB=60°，进而∠POA=60°，在Rt△AOP中求出OA，用弧长公式计算即可． 解答： 解：（1）作图如右图， 连接OA，过O作OB⊥PC， ∵PA切⊙O于点A， ∴OA⊥PA， 又∵∠OPC=∠OPA，OB⊥PC， ∴OA=OB，即d=r， ∴PC是⊙O的切线； （2）∵PA、PC是⊙O的切线， ∴PA=PB， 又∵AB=AP=4， ∴△PAB是等边三角形， ∴∠APB=60°， ∴∠AOB=120°，∠POA=60°， 在Rt△AOP中，tan60°=∴OA= ∴==． 118

点评： 本题考查了尺规作图、切线的判定与性质、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数以及弧长的计算，求出圆心角和半径长是解决问题的关键． 23．（8分）（2015•随州）如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y=at+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m． （1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？ （2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x=10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？

2

考点： 二次函数的应用． 2分析： （1）由题意得：函数y=at+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解+析+式为：y=﹣t+5t+，当t=2时，y最大=； ×2.8+5×2.8+=2.25＜2.44，2（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣于是得到他能将球直接射入球门． 2解答： 解：（1）由题意得：函数y=at+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5）， ∴， 解得：， ∴抛物线的解+析+式为：y=﹣t+5t+， 2 119

∴当t=时，y最大=； （2）把x=28代入x=10t得t=2.8， ∴当t=2.8时，y=﹣×2.8+5×2.8+=2.25＜2.44， 2∴他能将球直接射入球门． 点评： 本题考查了待定系数法求二次函数的解+析+式，以及二次函数的应用，正确求得解+析+式是解题的关键． 24．（10分）（2015•随州）问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系． 【发现证明】

小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论． 【类比引申】 如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足 ∠BAD=2∠EAF 关系时，仍有EF=BE+FD． 【探究应用】 如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB=AD=80米，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF=40（﹣1）米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：=1.41，=1.73）

考点： 四边形综合题． 分析： 【发现证明】根据旋转的性质可以得到△ADG≌△ABE，则GF=BE+DF，只要再证明△AFG≌△AFE即可． 【类比引申】延长CB至M，使BM=DF，连接AM，证△ADF≌△ABM，证△FAE≌△MAE，即可得出答案； 【探究应用】利用等边三角形的判定与性质得到△ABE是等边三角形，则BE=AB=80米．把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，根据旋转的性质可以得到△ADG≌△ABE，则GF=BE+DF，只要再证明△AFG≌△AFE即可得出EF=BE+FD． 解答： 【发现证明】证明：如图（1），∵△ADG≌△ABE， ∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE， 又∵∠EAF=45°，即∠DAF+∠BEA=∠EAF=45°， ∴∠GAF=∠FAE， 120

在△GAF和△FAE中， ， ∴△AFG≌△AFE（SAS）． ∴GF=EF． 又∵DG=BE， ∴GF=BE+DF， ∴BE+DF=EF． 【类比引申】∠BAD=2∠EAF． 理由如下：如图（2），延长CB至M，使BM=DF，连接AM， ∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°， ∴∠D=∠ABM， 在△ABM和△ADF中， ， ∴△ABM≌△ADF（SAS）， ∴AF=AM，∠DAF=∠BAM， ∵∠BAD=2∠EAF， ∴∠DAF+∠BAE=∠EAF， ∴∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF， 在△FAE和△MAE中， ， ∴△FAE≌△MAE（SAS）， ∴EF=EM=BE+BM=BE+DF， 即EF=BE+DF． 故答案是：∠BAD=2∠EAF． 【探究应用】如图3，把△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AF． ∵∠BAD=150°，∠DAE=90°， ∴∠BAE=60°． 又∵∠B=60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴BE=AB=80米． 根据旋转的性质得到：∠ADG=∠B=60°， 又∵∠ADF=120°， ∴∠GDF=180°，即点G在CD的延长线上． 易得，△ADG≌△ABE， ∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，DG=BE， 又∵∠EAG=∠BAD=150°，

121

∴∠GAF=∠FAE， 在△GAF和△FAE中， ， ∴△AFG≌△AFE（SAS）． ∴GF=EF． 又∵DG=BE， ∴GF=BE+DF， ∴EF=BE+DF=80+40（﹣1）≈109.2（米），即这条道路EF的长约为109.2米． 点评： 此题主要考查了四边形综合题，关键是正确画出图形，证明△AFG≌△AEF．此题是一道综合题，难度较大，题目所给例题的思路，为解决此题做了较好的铺垫． 25．（12分）（2015•随州）如图，已知抛物线y=

（x+2）（x﹣4）与x轴交于点A、B（点

A位于点B的左侧），与y轴交于点C，CD∥x轴交抛物线于点D，M为抛物线的顶点． （1）求点A、B、C的坐标； （2）设动点N（﹣2，n），求使MN+BN的值最小时n的值；

（3）P是抛物线上一点，请你探究：是否存在点P，使以P、A、B为顶点的三角形与△ABD相似（△PAB与△ABD不重合）？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

122

考点： 二次函数综合题． 分析： （1）令y=0可求得点A、点B的横坐标，令x=0可求得点C的纵坐标； （2）根据两点之间线段最短作M点关于直线x=﹣2的对称点M′，当N（﹣2，N）在直线M′B上时，MN+BN的值最小； （3）需要分类讨论：△PAB∽△ABD、△PAB∽△ABD，根据相似三角形的性质求得PB的长度，然后可求得点P的坐标． 解答： 解：（1）令y=0得x1=﹣2，x2=4， ∴点A（﹣2，0）、B（4，0） 令x=0得y=﹣， ∴点C（0，﹣） （2）将x=1代入抛物线的解+析+式得y=﹣∴点M的坐标为（1，﹣） ∴点M关于直线x=﹣2的对称点M′的坐标为（﹣5，设直线M′B的解+析+式为y=kx+b 将点M′、B的坐标代入得： ） 解得： 所以直线M′B的解+析+式为y=将x=﹣2代入得：y=﹣所以n=﹣． ． （3）过点D作DE⊥BA，垂足为E． 123

由勾股定理得： AD=BD=如下图，①当P1AB∽△ADB时， 即： =3， ， ∴P1B=6 过点P1作P1M1⊥AB，垂足为M1． ∴即：， 解得：P1M1=6∵即：解得：BM1=12 ∴点P1的坐标为（﹣8，6） ∵点P1不在抛物线上，所以此种情况不存在； ②当△P2AB∽△BDA时，∴P2B=6 过点P2作P2M2⊥AB，垂足为M2． ∴∴P2M2=2∵，即： ，即： 即： 124

∴M2B=8 ∴点P2的坐标为（﹣4，2） 将x=﹣4代入抛物线的解+析+式得：y=2， ∴点P2在抛物线上． 由抛物线的对称性可知：点P2与点P4关于直线x=1对称， ∴P4的坐标为（6，2）， 当点P3位于点C处时，两三角形全等，所以点P3的坐标为（0，﹣）， 综上所述点P的坐标为：（﹣4，2）或（6，2）或（0，﹣）时，以P、A、B为顶点的三角形与△ABD相似． 点评： 本题综合考查了二次函数、一次函数、轴对称﹣﹣路径最短、相似三角形的性质，难度较大，利用相似三角形的性质求得PB的长是解题的关键，解答本题需要注意的是在不确定相似三角形的对应角和对应边的情况下要分类讨论，不要漏解． 2015年武汉市初中毕业生学业考试数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．在实数－3、0、5、3中，最小的实数是（ ） A．－3 B．0 C．5

D．3

2．若代数式x2在实数范围内有意义，则x的取值范为是（ ） A．x≥－2 B．x＞－2 C．x≥2 3．把a2－2a分解因式，正确的是（ ） A．a(a－2) B．a(a＋2) C．a(a2－2) 4．一组数据3、8、12、17、40的中位数为（ ） A．3 B．8 C．12 5．下列计算正确的是（ ） A．2x2－4x2＝－2 B．3x＋x＝3x2 C．3x²x＝3x2

D．x≤2 D．a(2－a) D．17

D．4x6÷2x2＝2x3

16．如图，在直角坐标系中，有两点A(6，3)、B(6，0)．以原点O为位似中心，相似比为，

3在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为（ ） A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1)

7．如图，是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其主视图是（ ）

8．下面的折线图描述了某地某日的气温变化情况，根据图中信息，下列说法错误的是（ ）

125

A．4:00气温最低 16:00

9．在反比例函数yB．6:00气温为24℃ C．14:00气温最高

D．气温是30℃的为

13m图象上有两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，x1＜0＜y1，y1＜y2，则m的x1B．m＜

31C．m≥

31D．m≤

3取值范围是（ ） 1A．m＞

3

10．如图，△ABC、△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（ ） A．23 B．31 C．2 D．31

二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 11．计算：－10＋(＋6)＝_________

12．中国的领水面积约为370 000 km2，将数370 000用科学记数法表示为_________ 13．一组数据2、3、6、8、11的平均数是_________

14．如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省__元

15．定义运算“*”，规定x*y＝ax2＋by，其中a、b为常数，且1*2＝5，2*1＝6，则2*3＝_________

126

16．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是_________ 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（本题8分）已知一次函数y＝kx＋3的图象经过点(1，4) 求这个一次函数的解+析+式

求关于x的不等式kx＋3≤6的解集 18．（本题8分）如图，点B、C、E、F在同一直线上，BC＝EF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC＝DF

求证：(1) △ABC≌△DEF (2) AB∥DE

19．（本题8分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为1，2，3，4 (1) 随机摸取一个小球，直接写出“摸出的小球标号是3”的概率

(2) 随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，直接写出下列结果： ① 两次取出的小球一个标号是1，另一个标号是2的概率

② 第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的概率 20．（本题8分），如图，已知点A(－4，2)、B(－1，－2)，□ABCD的对角线交于坐标原点O

(1) 请直接写出点C、D的坐标

(2) 写出从线段AB到线段CD的变换过程 (3) 直接写出□ABCD的面积

21．（本题8分）如图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB (1) 求证：AT是⊙O的切线

(2) 连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC的值

127

22．（本题8分）已知锐角△ABC中，边BC长为12，高AD长为8

(1) 如图，矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K ① 求

EF的值 AK② 设EH＝x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值 (2) 若ABAC，正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上，另两个顶点分别在△ABC的另两边上，直接写出正方形PQMN的边长

23．（本题10分）如图，△ABC中，点E、P在边AB上，且AE＝BP，过点E、P作BC的平行线，分别交AC于点F、Q．记△AEF的面积为S1，四边形EFQP的面积为S2，四边形PQCB的面积为S3

(1) 求证：EF＋PQ＝BC (2) 若S1＋S3＝S2，求

PE的值 AEPE的值 AE(3) 若S3－S1＝S2，直接写出

24．（本题12分）已知抛物线y＝x2＋c与x轴交于A(－1，0)，B两点，交y轴于点C (1) 求抛物线的解+析+式

(2) 点E(m，n)是第二象限内一点，过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F，过点F作FG⊥y轴于点G，连接CE、CF，若∠CEF＝∠CFG，求n的值并直接写出m的取值范围（利用图1完成你的探究）

128

(3) 如图2，点P是线段OB上一动点（不包括点O、B），PM⊥x轴交抛物线于点M，∠OBQ＝∠OMP，BQ交直线PM于点Q，设点P的横坐标为t，求△PBQ的周长

129

湖北省咸宁市2015年中考数学试卷

一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）

1．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（ ） A．B． C． D．

130

考点： 正数和负数． 分析： 求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 解答： 解：∵|﹣0.6|＜|+0.7|＜|+2.5|＜|﹣3.5|， ∴﹣0.6最接近标准， 故选：C． 点评： 本题考查了绝对值和正数和负数的应用，掌握正数和负数的概念和绝对值的性质是解题的关键，主要考查学生的理解能力，题目具有一定的代表性，难度也不大． 2．（3分）（2015•咸宁）方程2x﹣1=3的解是（ ） 1 2 A．﹣1 B． ﹣2 C． D． 考点： 解一元一次方程． 专题： 计算题． 分析： 方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 解答： 解：方程2x﹣1=3， 移项合并得：2x=4， 解得：x=2， 故选D 点评： 此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解． 3．（3分）（2015•咸宁）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）

A．圆柱 B． 圆锥 C． 长方体 D． 正方体 考点： 由三视图判断几何体． 分析： 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 解答： 解：由主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，由俯视图为圆可得此几何体为圆柱． 故选A． 点评： 本题考查了由三视图判断几何体：由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状． 4．（3分）（2015•咸宁）如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=50°，则∠2的度数为（ ）

131

50° 40° 30° 25° A．B． C． D． 考点： 平行线的性质． 分析： 由两直线平行，同位角相等，可求得∠3的度数，然后求得∠2的度数． 解答： 解：如图，， ∵∠1=50°， ∴∠3=∠1=50°， ∴∠2=90°﹣50°=40°． 故选B． 点评： 此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等定理的应用是解此题的关键． 5．（3分）（2015•咸宁）下列运算正确的是（ ） ﹣3222623 A．B． D． （a+b）=a+b C． a÷a=a 2=﹣6 =﹣3 考点： 同底数幂的除法；立方根；完全平方公式；负整数指数幂． 专题： 计算题． 分析： A、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断； B、原式利用完全平方公式化简得到结果，即可做出判断； C、原式利用负整数指数幂法则计算得到结果，即可做出判断； D、原式利用立方根定义计算得到结果，即可做出判断． 4解答： 解：A、原式=a，错误； 22B、原式=a+b+2ab，错误； C、原式=，错误； D、原式=﹣3，正确， 故选D 点评： 此题考查了同底数幂的除法，立方根，完全平方公式，以及负整数指数幂，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 6．（3分）（2015•咸宁）如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为（ ）

A．1：2

B． 1：4 C． 1：5 D． 1：6 132

考点： 位似变换． 分析： 利用位似图形的性质首先得出位似比，进而得出面积比． 解答： 解：∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD=OA， ∴OA：OD=1：2， ∴△ABC与△DEF的面积之比为：1：4． 故选：B． 点评： 此题主要考查了位似图形的性质，得出位似比是解题关键． 7．（3分）（2015•咸宁）如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，以AB的中点D为圆心，作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在EF上，设∠BDF=α（0°＜α＜90°），当α由小到大变化时，图中阴影部分的面积（ ）

A．由小到大 B． 由大到小 不变 C．D． 先由小到大，后由大到小 考点： 扇形面积的计算． 分析： 作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，构造正方形DMCN，利用正方形和等腰直角三角形的性质，通过证明△DMG≌△DNH，把△DHN补到△DNG的位置，得到四边形DGCH的面积=正方形DMCN的面积，于是得到阴影部分的面积=扇形的面积﹣正方形DMCN的面积，即为定值． 解答： 解：作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，连接DC， ∵CA=CB，∠ACB=90°， ∴∠A=∠B=45°， DM=AD=AB，DN=BD=AB， ∴DM=DN， ∴四边形DNCN是正方形， ∴∠MDN=90°， ∴∠MDG=90°﹣∠GDN， ∵∠EDF=90°， ∴∠NDH=90°﹣∠GDN， ∴∠MDG=∠NDH， 在△DMG和△DNH中， ， ∴△DMG≌△DNH，

133

∴四边形DGCH的面积=正方形DMCN的面积， ∵正方形DMCN的面积=DM=AB， ∴四边形DGCH的面积=∵扇形FDE的面积=， =， 22∴阴影部分的面积=扇形面积﹣四边形DGCH的面积=故选C． （定值）， 点评： 本题主要考查了等腰直角三角形斜边中线的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，能正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 8．（3分）（2015•咸宁）如图是二次函数y=ax+bx+c的图象，下列结论：

2

①二次三项式ax+bx+c的最大值为4； ②4a+2b+c＜0；

③一元二次方程ax+bx+c=1的两根之和为﹣1； ④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0． 其中正确的个数有（ ）

2

2

A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 考点： 二次函数的图象；二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式（组）． 2分析： ①根据抛物线的顶点坐标确定二次三项式ax+bx+c的最大值； ②根据x=2时，y＜0确定4a+2b+c的符号； 2③根据抛物线的对称性确定一元二次方程ax+bx+c=1的两根之和； 134

④根据函数图象确定使y≤3成立的x的取值范围． 2解答： 解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴二次三项式ax+bx+c的最大值为4，①正确； ∵x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，②正确； 2根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax+bx+c=1的两根之和为﹣2，③错误； 使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤﹣2，④错误， 故选：B． 点评： 本题考查的是二次函数的图象、二次函数的最值、二次函数与不等式，掌握二次函数的性质、正确获取图象信息是解题的关键． 二、细心填一填（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）（2015•咸宁）﹣6的倒数是 考点： 倒数． 分析： 根据倒数的定义求解． 解答： 解：因为（﹣6）×（﹣）=1， ．

所以﹣6的倒数是﹣． 点评： 倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 10．（3分）（2015•咸宁）端午节期间，“惠民超市”销售的粽子打8折后卖a元，则粽子的原价卖

a 元．

考点： 列代数式． 分析： 8折=80%，把原价当作单位“1”，则现价是原价的80%，根据分数除法的意义原价是：a÷80%=，得结果． 解答： 解：8折=80%， a÷80%=， ． 故答案为：点评： 本题主要考查了打折问题，找准单位“1”，弄清各种量的关系是解答此题的关键． 11．（3分）（2015•咸宁）将x+6x+3配方成（x+m）+n的形式，则m= 3 ． 考点： 配方法的应用． 专题： 计算题． 分析： 原式配方得到结果，即可求出m的值． 2222解答： 解：x+6x+3=x+6x+9﹣6=（x+3）﹣6=（x+m）+n， 则m=3， 22

135

故答案为：3 点评： 此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 12．（3分）（2015•咸宁）如果实数x，y满足方程组

，则x﹣y的值为 ﹣ ．

2

2

考点： 解二元一次方程组；平方差公式． 专题： 计算题． 分析： 方程组第二个方程变形求出x+y的值，原式利用平方差公式化简，将各自的值代入计算即可求出值． 解答： 解：方程组第二个方程变形得：2（x+y）=5，即x+y=， ∵x﹣y=﹣， ∴原式=（x+y）（x﹣y）=﹣， 故答案为：﹣ 点评： 此题考查了解二元一次方程组，以及平方差公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 13．（3分）（2015•咸宁）为了解学生课外阅读的喜好，某校从八年级1200名学生中随机抽取50名学生进行问卷调查，整理数据后绘制如图所示的统计图．由此可估计该年级喜爱“科普常识”的学生约有 360 人．

考点： 扇形统计图． 分析： 根据扇形图求出喜爱科普常识的学生所占的百分比，1200乘百分比得到答案． 解答： 解：喜爱科普常识的学生所占的百分比为：1﹣40%﹣20%﹣10%=30%， 1200×30%=360， 故答案为：360． 点评： 本题考查的是扇形统计图的知识，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 14．（3分）（2015•咸宁）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，6），将△OAB

沿x轴向左平移得到△O′A′B′，点A的对应点A′落在直线y=﹣x上，则点B与其对应点B′间的距离为 8 ．

136

考点： 一次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-平移． 分析： 根据题意确定点A′的纵坐标，根据点A′落在直线y=﹣x上，求出点A′的横坐标，确定△OAB沿x轴向左平移的单位长度即可得到答案． 解答： 解：由题意可知，点A移动到点A′位置时，纵坐标不变， ∴点A′的纵坐标为6， ﹣x=6，解得x=﹣8， ∴△OAB沿x轴向左平移得到△O′A′B′位置，移动了8个单位， ∴点B与其对应点B′间的距离为8， 故答案为：8． 点评： 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征和图形的平移，确定三角形OAB移动的距离是解题的关键． 15．（3分）（2015•咸宁）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2…，第n个三角数记为an，计

5

算a1+a2，a2+a3，a3+a4，…由此推算a399+a400= 1.6×10或160000 ． 考点： 规律型：数字的变化类． 分析： 首先计算a1+a2，a2+a3，a3+a4的值，然后总结规律，根据规律可以得出结论． 解答： 解：∵；；；… ∴∴5； ． 故答案为：1.6×10或160000． 点评： 本题考查的是规律发现，根据计算a1+a2，a2+a3，a3+a4的值可以发现规律为，发现规律是解决本题的关键． 16．（3分）（2015•咸宁）如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为G，连结CG．下列说法：①AG＞GE；②AE=BF；③点G运动的路径长为π；④CG的最小值为﹣1．其中正确的说法是 ②③ ．（把你认为正确的说法的序号都填上）

137

考点： 四边形综合题． 分析： 根据正方形对角线的性质可得出当E移动到与C重合时，AG=GE，故①错误；求得∠BAE=∠CBF，根据正方形的性质可得AB=BC，∠ABC=∠C=90°，然后利用“角角边”证明△ABE和△BCF全等，根据全等三角形对应角相等可得AE=BF，判断出②正确；根据题意，G点的轨迹是以A为圆心以AB长为半径的圆弧BD的长，然后求出弧BD的长度，判断出③正确；正方形的对角线减去圆弧的半径就是CG的最小值，通过计算从而判断出④错误． 解答： 解：∵在正方形ABCD中，AE、BD垂直平分， ∴当E移动到与C重合时，AG=GE，故①错误； ∵BF⊥AE， ∴∠AEB+∠CBF=90°， ∵∠AEB+∠BAE=90°， ∴∠BAE=∠CBF， 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（AAS）， ∴故②正确； 根据题意，G点的轨迹是以A为圆心以AB长为半径的圆弧BD的长， ∴圆弧BD的长==π，故③正确； CG的最小值为AC﹣AB=4﹣2，故④错误； 综上所述，正确的结论有②③． 故答案为②③． 点评： 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，弧长的计算，勾股定理的应用，熟记性质并求出△ABE和△BCF全等是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观． 三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分）

0

17．（8分）（2015•咸宁）（1）计算：|1﹣|++（﹣2）；

2232

（2）化简：（ab﹣2ab﹣b）÷b﹣（a﹣b）． 考点： 整式的混合运算；实数的运算；零指数幂． 专题： 计算题． 分析： （1）原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项化为最简二次根式，第三项利用零指数幂法则计算即可得到结果； 138

（2）原式第一项利用多项式除以单项式法则计算，第二项利用完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果． 解答： 解：（1）原式=﹣1+2+1=3； 22222（2）原式=a﹣2ab﹣b﹣a+2ab﹣b=﹣2b． 点评： 此题考查了整式的混合运算，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．（6分）（2015•咸宁）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD为角平分线，DE⊥AB，垂足为E．

（1）写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形； （2）选择（1）中一对加以证明．

考点： 相似三角形的判定；全等三角形的判定． 分析： （1）利用相似三角形的性质以及全等三角形的性质得出符合题意的答案； （2）利用相似三角形的判定以及全等三角形的判定方法分别得出即可． 解答： 解：（1）△ADE≌△BDE，△ABC∽△BCD； （2）证明：∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠C=72°， ∵BD为角平分线， ∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A， 在△ADE和△BDE中 ∵， ∴△ADE≌△BDE（AAS）； 证明：∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠C=72°， ∵BD为角平分线， ∴∠DBC=∠ABC=36°=∠A， ∵∠C=∠C， ∴△ABC∽△BCD． 点评： 此题主要考查了相似三角形以及全等三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键． 19．（8分）（2015•咸宁）已知关于x的一元二次方程mx﹣（m+2）x+2=0．

139

2

（1）证明：不论m为何值时，方程总有实数根； （2）m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 考点： 根的判别式；解一元二次方程-公式法． 分析： （1）求出方程根的判别式，利用配方法进行变形，根据平方的非负性证明即可； （2）利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根，根据题意求出m的值． 2解答： 解：（1）△=（m+2）﹣8m 2=m﹣4m+4 2=（m﹣2）， 2∵不论m为何值时，（m﹣2）≥0， ∴△≥0， ∴方程总有实数根； （2）解方程得，x=x1=，x2=1， ， ∵方程有两个不相等的正整数根， ∴m=1或2，m=2不合题意， ∴m=1． 点评： 本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根是解题的关键． 20．（9分）（2015•咸宁）某校九年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“汉字听写”大赛预赛．各参赛选手的成绩如图：

九（1）班：88，91，92，93，93，93，94，98，98，100 九（2）班：，93，93，93，95，96，96，98，98，99 通过整理，得到数据分析表如下： 班级 最高分 平均分 中位数 众数 方差 100 m 93 93 12 九（1）班 99 95 n 93 8.4 九（2）班 （1）直接写出表中m、n的值； （2）依据数据分析表，有人说：“最高分在（1）班，（1）班的成绩比（2）班好”，但也有人说（2）班的成绩要好，请给出两条支持九（2）班成绩好的理由；

（3）若从两班的参赛选手中选四名同学参加决赛，其中两个班的第一名直接进入决赛，另外两个名额在四个“98分”的学生中任选二个，试求另外两个决赛名额落在同一个班的概率． 考点： 列表法与树状图法；加权平均数；中位数；众数；方差． 专题： 计算题． 分析： （1）求出九（1）班的平均分确定出m的值，求出九（2）班的中位数确定出n的值即可； （2）分别从平均分，方差，以及中位数方面考虑，写出支持九（2）班成绩好的原因； （3）画树状图得出所有等可能的情况数，找出另外两个决赛名额落在同一个班的情况数，即可求出所求的概率． 140

解答： 解：（1）m=（88+91+92+93+93+93+94+98+98+100）=94； 把九（2）班成绩排列为：，93，93，93，95，96，96，98，98，99， 则中位数n=（95+96）=95.5； （2）①九（2）班平均分高于九（1）班；②九（2）班的成绩比九（1）班稳定；③九（2）班的成绩集中在中上游，故支持九（2）班成绩好（任意选两个即可）； （3）用A1，B1表示九（1）班两名98分的同学，C2，D2表示九（2）班两名98分的同学， 画树状图，如图所示： 所有等可能的情况有12种，其中另外两个决赛名额落在同一个班的情况有4种， 则P（另外两个决赛名额落在同一个班）==． 点评： 此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 21．（9分）（2015•咸宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F． （1）若∠B=30°，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形． （2）若AC=6，AB=10，连结AD，求⊙O的半径和AD的长．

考点： 切线的性质；菱形的判定与性质；相似三角形的判定与性质． 分析： （1）连接OD、OE、ED．先证明△AOE是等边三角形，得到AE=AO=0D，则四边形AODE是平行四边形，然后由OA=OD证明四边形AODE是菱形； （2）连接OD、DF．先由△OBD∽△ABC，求出⊙O的半径，然后证明△ADC∽△AFD，2得出AD=AC•AF，进而求出AD． 解答： （1）证明：如图1，连接OD、OE、ED． ∵BC与⊙O相切于一点D， ∴OD⊥BC， ∴∠ODB=90°=∠C， ∴OD∥AC， ∵∠B=30°， ∴∠A=60°， ∵OA=OE， ∴△AOE是等边三角形， ∴AE=AO=0D， 141

∴四边形AODE是平行四边形， ∵OA=OD， ∴四边形AODE是菱形． （2）解：设⊙O的半径为r． ∵OD∥AC， ∴△OBD∽△ABC． ∴解得r=，即8r=6（8﹣r）． ， ． ∴⊙O的半径为如图2，连接OD、DF． ∵OD∥AC， ∴∠DAC=∠ADO， ∵OA=OD， ∴∠ADO=∠DAO， ∴∠DAC=∠DAO， ∵AF是⊙O的直径， ∴∠ADF=90°=∠C， ∴△ADC∽△AFD， ∴2， ∴AD=AC•AF， ∵AC=6，AF=∴AD=∴AD=2， ×6=45， =3． 点评： 本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、菱形的判定和性质

142

以及相似三角形的判定和性质，是一个综合题，难度中等．熟练掌握相关图形的性质及判定是解本题的关键． 22．（10分）（2015•咸宁）在“绿满鄂南”行动中，某社区计划对面积为1800m的区域进行绿化．经投标，由甲、乙两个工程队来完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能

2

完成绿化面积的2倍，并且在完成面积为400m区域的绿化时，甲队比乙队少用4天． （1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积．

（2）设甲工程队施工x天，乙工程队施工y天，刚好完成绿化任务，求y与x的函数解+析+式．

（3）若甲队每天绿化费用是0.6万元，乙队每天绿化费用为0.25万元，且甲乙两队施工的总天数不超过26天，则如何安排甲乙两队施工的天数，使施工总费用最低？并求出最低费用． 考点： 一次函数的应用；分式方程的应用． 22分析： （1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm，根据在完成面积为400m区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，列方程求解； （2）根据题意得到100x+50y=1800，整理得：y=36﹣2x，即可解答． （3）根据甲乙两队施工的总天数不超过26天，得到x≥10，设施工总费用为w元，根据题意得：w=0.6x+0.25y=0.6x+0.25×（36﹣2x）=0.1x+9，根据一次函数的性质，即可解答． 2解答： 解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm， 2

根据题意得：， 解得：x=50， 经检验，x=50是原方程的解， 则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100（m）， 22答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m、50m； （2）根据题意，得：100x+50y=1800， 整理得：y=36﹣2x， ∴y与x的函数解+析+式为：y=36﹣2x． （3）∵甲乙两队施工的总天数不超过26天， ∴x+y≤26， ∴x+36﹣2x≤26， 解得：x≥10， 设施工总费用为w元，根据题意得： w=0.6x+0.25y=0.6x+0.25×（36﹣2x）=0.1x+9， ∵k=0.1＞0， ∴w随x减小而减小， ∴当x=10时，w有最小值，最小值为0.1×10+9=10， 此时y=36﹣20=16． 答：安排甲队施工10天，乙队施工16天时，施工总费用最低． 点评： 本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．

143

223．（10分）（2015•咸宁）定义：数学活动课上，乐老师给出如下定义：有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做对等四边形． 理解：（1）如图1，已知A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请在方格图中画出以格点为顶点，AB、BC为边的两个对等四边形ABCD；

（2）如图2，在圆内接四边形ABCD中，AB是⊙O的直径，AC=BD．求证：四边形ABCD是对等四边形；

（3）如图3，在Rt△PBC中，∠PCB=90°，BC=11，tan∠PBC=

，点A在BP边上，且

AB=13．用圆规在PC上找到符合条件的点D，使四边形ABCD为对等四边形，并求出CD的长．

考点： 四边形综合题． 分析： （1）根据对等四边形的定义，进行画图即可； （2）连接AC，BD，证明Rt△ADB≌Rt△ACB，得到AD=BC，又AB是⊙O的直径，所以AB≠CD，即可解答； （3）根据对等四边形的定义，分两种情况：①若CD=AB，此时点D在D1的位置，CD1=AB=13；②若AD=BC=11，此时点D在D2、D3的位置，AD2=AD3=BC=11；利用勾股定理和矩形的性质，求出相关相关线段的长度，即可解答． 解答： 解：（1）如图1所示（画2个即可）． （2）如图2，连接AC，BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=∠ACB=90°，

144

在Rt△ADB和Rt△ACB中， ∴Rt△ADB≌Rt△ACB， ∴AD=BC， 又∵AB是⊙O的直径， ∴AB≠CD， ∴四边形ABCD是对等四边形． （3）如图3，点D的位置如图所示： ①若CD=AB，此时点D在D1的位置，CD1=AB=13； ②若AD=BC=11，此时点D在D2、D3的位置，AD2=AD3=BC=11， 过点A分别作AE⊥BC，AF⊥PC，垂足为E，F， 设BE=x， ∵tan∠PBC=∴AE=， 222， 在Rt△ABE中，AE+BE=AB， 即， 解得：x1=5，x2﹣5（舍去）， ∴BE=5，AE=12， ∴CE=BC﹣BE=6， 由四边形AECF为矩形，可得AF=CE=6，CF=AE=12， 在Rt△AFD2中，∴，， ， 综上所述，CD的长度为13、12﹣或12+． 点评： 本题主要考查了四边形的综合题，解题的关键是理解并能运用“等对角四边形”这个概念．在（3）中注意分类讨论思想的应用、勾股定理的应用． 24．（12分）（2015•咸宁）如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折线”）． （1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解+析+式； （2）如图2，双曲线y=与新函数的图象交于点C（1，a），点D是线段AC上一动点（不包括端点），过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P．

145

①试求△PAD的面积的最大值；

②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形？若能，求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．

考点： 反比例函数综合题． 分析： （1）根据一次函数的性质，结合函数图象可写出新函数的两条性质；求新函数的解+析+式，可分两种情况进行讨论：①x≥﹣3时，显然y=x+3；②当x＜﹣3时，利用待定系数法求解； （2）①先把点C（1，a）代入y=x+3，求出C（1，4），再利用待定系数法求出反比例函数解+析+式为y=．由点D是线段AC上一动点（不包括端点），可设点D的坐标为（m，m+3），且﹣3＜m＜1，那么P（形的面积公式得出△PAD的面积为S=（（m+）+2，m+3），PD=﹣m，再根据三角2﹣m）×（m+3）=﹣m﹣m+2=﹣，然后利用二次函数的性质即可求解； ②先利用中点坐标公式求出AC的中点D的坐标，再计算DP，DE的长度，如果DP=DE，那么根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形PAEC为平行四边形；如果DP≠DE，那么不是平行四边形． 解答： 解：（1）如图1，均是正整数新函数的两条性质：①函数的最小值为0； ②函数图象的对称轴为直线x=﹣3； 由题意得A点坐标为（﹣3，0）．分两种情况： ①x≥﹣3时，显然y=x+3； ②当x＜﹣3时，设其解+析+式为y=kx+b． 在直线y=x+3中，当x=﹣4时，y=﹣1， 则点（﹣4，﹣1）关于x轴的对称点为（﹣4，1）． 把（﹣4，1），（﹣3，0）代入y=kx+b， 得∴y=﹣x﹣3． 综上所述，新函数的解+析+式为y=； ，解得， 146

（2）如图2，①∵点C（1，a）在直线y=x+3上， ∴a=1+3=4． ∵点C（1，4）在双曲线y=上， ∴k=1×4=4，y=． ∵点D是线段AC上一动点（不包括端点）， ∴可设点D的坐标为（m，m+3），且﹣3＜m＜1． ∵DP∥x轴，且点P在双曲线上， ∴P（∴PD=，m+3）， ﹣m， ∴△PAD的面积为 S=（﹣m）×（m+3）=﹣m﹣m+2=﹣（m+）+22， ∵a=﹣＜0， ∴当m=﹣时，S有最大值，为又∵﹣3＜﹣＜1， ∴△PAD的面积的最大值为； ， ②在点D运动的过程中，四边形PAEC不能为平行四边形．理由如下： 当点D为AC的中点时，其坐标为（﹣1，2），此时P点的坐标为（2，2），E点的坐标为（﹣5，2）， ∵DP=3，DE=4， ∴EP与AC不能互相平分， ∴四边形PAEC不能为平行四边形． 点评： 本题是反比例函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求反比例函数、一次函数的解+析+式，反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，二次函数最值的求法，平行四边形的判定等知识，综合性较强，难度适中．利用数形结合、分类讨论是解题的关键．

147

机密★启用前

2015年襄阳市初中毕业生学业水平考试

数 学 试 题

（本试卷共4页，满分120分，考试时间120分钟）

★ 祝 考 试 顺 利 ★

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号填写在试题卷和答题卡上，并将考试号条

形码粘贴在答题卡上指定位置。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效。

3．非选择题（主观题）用0.5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上每题对应的答题区

域内，答在试题卷上无效。作图一律用2B铅笔或0.5毫米的黑色签字笔。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答. 1．-2的绝对值是（ ▲ ）.

11 A．2 B．-2 C． D．-

222

2．中国人口众多，地大物博，仅领水面积就约为370 000km，将“370 000”这个数用科学记数法表示为（ ▲ ）. A．3.7×106 B．3.7×105 C．37×104 D．3.7×104 3．在数轴上表示不等式2（1－x）＜4的解集，正确的是（ ▲ ）. B． C． D． -1001-10-104．如图，是一台自动测温仪记录的图象，它反映了我市冬季某天气温T随时间t变化而变 化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是（ ▲ ）. T/°C8 A．凌晨4时气温最低为－3°C

B．14时气温最高为8°C

C．从0时至14时，气温随时间增长而上升

4 D．从14时至24时，气温随时间增长而下降 01424t/时-35．下列运算中正确的是（ ▲ ）. 第4题图 323412

A．a－a＝a B．a·a＝a

30° C．a6÷a2＝a3 D．(－a2)3＝－a6

16．如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在矩形

2直尺的一组对边上，如果∠2＝60°，那么∠1的度数为（ ▲ ）. 第6题图 A A．60° B．50° C．40° D．30°

E7．如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，

垂足为D，CE平分∠ACB，若BE＝2，则AE的长为（ ▲ ）.

DC A．3 B．1 C．2 D．2 B8．下列说法中正确的是（ ▲ ）.

第7题图

A． A．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件

148

B．“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件 C．“概率为0.0001的事件”是不可能事件

D．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次 9．点O是△ABC的外心，若∠BOC＝80°，则∠BAC的度数为（ ▲ ）. A．40°

B．100°

C．40°或140°

D．40°或100°

主视图左视图10．由若干个相同的小正方体组合而成的一个几何体的三视图如图

所示，则组成这个几何体的小正方体的个数是（ ▲ ）. A．4 B．5 C．6

D．9

y俯视图11．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在平面直角坐标系中的位置

c如图所示，则一次函数y＝ax＋b与反比例函数y=在同

x一平面直角坐标系中的图象可能是（ ▲ ）.

xOy第10题图

xOx 第11题图

yyyxOxOxOx x x x GAFDA． B. C. D.

12．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将纸片沿EF折叠，

使点C与点A重合，则下列结论错误的是（ ▲ ）. A．AF＝AE C．EF＝25

B．△ABE≌△AGF D．AF＝EF

B第12题图

EC二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分)把答案填在答题卡的相应位置上.

113．计算：2-1-3= ▲ . 8B11014．分式方程-=0的解是 ▲ .

x-5x2-10x+2515．若一组数据1，2，x，4的众数是1，则这组数据的方差为 ▲ . 16．如图，P为⊙O外一点，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，

PA＝3，∠P＝60°，则图中阴影部分的面积为 ▲ .

OAP第16题图

17．在□ ABCD中，AD＝BD，BE是AD边上的高，∠EBD＝20°，则∠A的度数为 ▲ . 三、解答题(本大题共9个小题，共69分)解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并

且写在答题卡上每题对应的答题区域内. 18．(本小题满分6分)

骣5x+3y2x÷1÷+?先化简，再求值：ç，其中x＝3＋2，y＝3－2. ç2÷x2y-xy2çx-y2y2-x2÷桫19．(本小题满分6分)

yA(1,4)m的图象与一次函数y＝ax＋b的 x图象相交于点A(1，4)和点B (n，－2). 如图，已知反比例函数y=（1）求反比例函数和一次函数的解+析+式；

（2）当一次函数的值小于反比例函数的值时，直接写出x的

取值范围.

149

OB(n,-2)x第19题图 20．(本小题满分6分)

为配合全市“禁止焚烧秸秆”工作，某学校举行了“禁止焚烧秸秆，保护环境，从我做起”为主题的演讲比赛. 赛后组委会整理参赛同学的成绩，并制作了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图. 分数段（分数为x分） 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100 频数 8 a 16 4 百分比 20% 30% b% 10% 第20题图

请根据图表提供的信息，解答下列问题：

（1）表中的a＝ ▲ ，b＝ ▲ ；请补全频数分布直方图；

（2）若用扇形统计图来描述成绩分布情况，则分数段70≤x＜80对应扇形的圆心角的度

数是 ▲ ；

（3）竞赛成绩不低于90分的4名同学中正好有2名男同学，2名女同学. 学校从这4

名同学中随机抽2名同学接受电视台记者采访，则正好抽到一名男同学和一名女同学的概率为 ▲ .

21．(本小题满分6分)

如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m 的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出， 在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门. 所围矩形猪舍的长、 宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？ 22．(本小题满分6分)

如图，AD是△ABC的中线，tanB=21，cosC=，

23AC＝2. 求：(1)BC的长；(2)sin∠ADC的值.

E1m住房墙第21题图

23．(本小题满分7分)

如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是 由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF 相交于点D.

（1）求证：BE＝CF；

（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长.

24．(本小题满分10分)

第22题图

A45°FDB第23题图 C为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，超市规定每盒售价不得少于45元. 根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒. （1）试求出每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式；

（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P(元)最大？最大利润是多少？ （3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元. 如果超市

想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？

25．(本小题满分10分)

150

如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P， 连接AC，BC，PB∶PC＝1∶2. （1）求证：AC平分∠BAD；

（2）探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由； （3）若AD＝3，求△ABC的面积. 26．(本小题满分12分)

第25题图

EDCAOBP边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点 E在第一象限，且DE⊥DC，DE＝DC. 以直线AB为对称轴的抛物线过 C，E两点.

（1）求抛物线的解+析+式；

（2）点P从点C出发，沿射线CB以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒.

过点P作PF⊥CD于点F. 当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD 相似？

（3）点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以

点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的 点的坐标；若不存在，请说明理由.

第26题图

151

152

153

154

湖北省孝感市2015年中考数学试卷

温馨提示：

1．答题前，考生务必将自己所在县（市、区）、学校、姓名、考号填写在试卷上指定的位置．

2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题的答案必须写在答题卡的指定位置，在本卷上答题无效． 3．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题

给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，不涂、错涂或涂的代号超过一个，一律得0分）

1．下列各数中，最小的数是

A．3

B．2

C．(3)

2

D．2103

考点：有理数大小比较．

分析：根据正数都大于0，负数都小于0，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小，即可解答．

23

解答：解：∵|﹣2|=2，（﹣3）=9，2×10=2000， ∴﹣3＜2＜9＜2000， ∴最小的数是﹣2， 故选：A．

点评：本题考查了有理数的大小比较的应用，注意：正数都大于0，负数都小于0，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．

2．已知一个正多边形的每个外角等于60，则这个正多边形是

A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 考点：多边形内角与外角．

分析：多边形的外角和等于360°，因为所给多边形的每个外角均相等，故又可表示成60°n，列方程可求解．

解答：解：设所求正n边形边数为n， 则60°•n=360°， 解得n=6．

故正多边形的边数是6．

155

故选B．

点评：本题考查根据多边形的外角和求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理． 3．下列运算正确的是

A．a2a3a2 C．a8a2a4

B．3a32a26a6 D．（2a)8a

33考点：同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式．

分析：根据合并同类项，可判断A；根据单项式的乘法，可判断B；根据同底数幂的除法，可判断C；根据积的乘方，可判断D．

解答：解：A、不是同类项不能合并，故A错误； B、单项式乘单项式系数乘系数，同底数的幂相乘，单独出现的字母连同指数作为积的因式，故B错误；

C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C错误； D、积的乘方等于乘方的积，故D正确； 故选：D．

点评：本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键． 4．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是

A．正方体 B．长方体 C．三棱柱 D．三棱锥

(第4题)考点：由三视图判断几何体．

分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．

解答：解：根据主视图和左视图为矩形是柱体，根据俯视图是正方形可判断出这个几何体应该是长方体． 故选：B．

点评：本题考查由三视图判断几何体，由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状． 5．今年，我省启动了“关爱留守儿童工程”．某村小为了了解各年级留守儿童的数量， 对一到六年级留守儿童数量进行了统计，得到每个年级的留守儿童人数分别为

15， 10， 17， 18， 20．对于这组数据，下列说法错误 10，的是 ．．

A．平均数是15 B．众数是10

C．中位数是17

D．方差是

44 3考点：方差；加权平均数；中位数；众数．

分析：根据方差、众数、平均数和中位数的计算公式和定义分别进行解答即可． 解答：解：平均数是：（10+15+10+17+18+20）÷6=15； 10出现了2次，出现的次数最多，则众数是10；

把这组数据从小到大排列为10，10，15，17，18，20， 最中间的数是（15+17）÷2=16，则中位数是16；

方差是：[2（10﹣15）+（15﹣15）+（17﹣15）+（18﹣15）+（20﹣15）]=则下列说法错误的是C． 故选：C．

2

2

2

2

2

=．

156

点评：此题考查了方差、众数、平均数和中位数的定义．用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S=[（x1﹣）+（x2﹣）+…+（xn﹣）]．

6．在平面直角坐标系中，把点P(5， 3)向右平移8个单位得到点P1，再将点P1绕原点旋转

2

2

2

2

90得到点P2，则点P2的坐标是

A．(3，3)

B．(3， 3)

C．(3， 3)或(3，3) D．(3，3)或(3， 3)

考点：坐标与图形变化-旋转；坐标与图形变化-平移． 专题：分类讨论．

分析：首先利用平移的性质得出点P1的坐标，再利用旋转的性质得出符合题意的答案． 解答：解：∵把点P（﹣5，3）向右平移8个单位得到点P1， ∴点P1的坐标为：（3，3），

如图所示：将点P1绕原点逆时针旋转90°得到点P2，则其坐标为：（﹣3，3）， 将点P1绕原点顺时针旋转90°得到点P3，则其坐标为：（3，﹣3）， 故符合题意的点的坐标为：（3，﹣3）或（﹣3，3）． 故选：D．

点评：此题主要考查了坐标与图形的变化，正确利用图形分类讨论得出是解题关键．

7．下列命题：

①平行四边形的对边相等； ②对角线相等的四边形是矩形；

③正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形； ④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形． 其中真命题的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 考点：命题与定理．

157

分析：根据平行四边形的性质对①进行判断；根据矩形的判定方法对②进行判断；根据正方形的性质对③进行判断；根据菱形的判定方法对④进行判断． 解答：解：平行四边形的对边相等，所以①正确； 对角线相等的平行四边形是矩形，所以②错误；

正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以③正确； 一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，所以④正确． 故选C． 点评：

本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．8．如图，△AOB是直角三角形，AOB=90，OB2OA，点A在反比例函数y反比例函数yk的图象上，则k的值为 xA．4 B．4 C．2

1的图象上．若点B在xyB

D．2

Ax

O

考点：反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定与性质．分析：

要求函数的解+析+式只要求出B点的坐标就可以，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分(第8题)别于C，D．根据条件得到△ACO∽△ODB，得到：===2，然后用待定系数法即可．

解答：解：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．

设点A的坐标是（m，n），则AC=n，OC=m， ∵∠AOB=90°，

∴∠AOC+∠BOD=90°， ∵∠DBO+∠BOD=90°， ∴∠DBO=∠AOC， ∵∠BDO=∠ACO=90°， ∴△BDO∽△OCA， ∴

=

=

，

∵OB=2OA，

∴BD=2m，OD=2n，

因为点A在反比例函数y=的图象上，则mn=1，

∵点B在反比例函数y=的图象上，B点的坐标是（﹣2n，2m）， ∴k=﹣2n•2m=﹣4mn=﹣4． 故选A．

158

点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，求函数的解+析+式的问题，一般要转化为求点的坐标的问题，求出图象上点的横纵坐标的积就可以求出反比例函数的解+析+式．

9．已知x23，则代数式(743)x2(23)x3的值是

A．0

B．3

C．23

D．23

考点：二次根式的化简求值．

分析：未知数的值已给出，利用代入法即可求出．

2

解答：解：把x=2﹣代入代数式（7+4）x+（2+

）x+

得：

=（7+4）（7﹣4）+4﹣3+ =49﹣48+1+ =2+． 故选C．

点评：此题考查二次根式的化简求值，关键是代入后利用平方差公式进行计算． 10．如图，二次函数yaxbxc（a0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交 于点C，且OAOC．则下列结论： ①abc0；

2yCb24ac②0；

4a④OAOBABx③acb10；

c． a

D．1

O其中正确结论的个数是 A．4 B．3

C．2

(第10题)

考点：二次函数图象与系数的关系． 专题：数形结合．

分析：由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交

2

点位置可得c＞0，则可对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数得到b﹣4ac＞0，加

2

上a＜0，则可对②进行判断；利用OA=OC可得到A（﹣c，0），再把A（﹣c，0）代入y=ax+bx+c

2

得ac﹣bc+c=0，两边除以c则可对③进行判断；设A（x1，0），B（x2，0），则OA=﹣x1，

159

OB=x2，根据抛物线与x轴的交点问题得到x1和x2是方程ax+bx+c=0（a≠0）的两根，利用根与系数的关系得到x1•x2=，于是OA•OB=﹣，则可对④进行判断． 解答：解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0，

∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴b＞0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴c＞0，

∴abc＜0，所以①正确； ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴△=b﹣4ac＞0， 而a＜0， ∴

＜0，所以②错误；

2

2

∵C（0，c），OA=OC， ∴A（﹣c，0），

22

把A（﹣c，0）代入y=ax+bx+c得ac﹣bc+c=0， ∴ac﹣b+1=0，所以③正确；

设A（x1，0），B（x2，0），

2

∵二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，

2

∴x1和x2是方程ax+bx+c=0（a≠0）的两根， ∴x1•x2=，

∴OA•OB=﹣，所以④正确．

故选B．

2

点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决

22

定：△=b﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个

2

交点；△=b﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将结果 直接填写在答题卡相应位置上） 11．分式方程

15的解是 ☆ ． xx3考点：解分式方程． 专题：方程思想．

分析：观察可得最简公分母是x（x+3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．

解答：解：方程的两边同乘x（x+3），得

160

x+3=5x， 解得x=．

检验：把x=代入x（x+3）=∴原方程的解为：x=． 故答案为：x=．

点评：考查了解分式方程，注意：

（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． （2）解分式方程一定注意要验根．

12．分解因式：(ab)4b ☆ ．

考点：因式分解-运用公式法．

分析：直接利用平方差公式分解因式得出即可．

22

解答：解：（a﹣b）﹣4b =（a﹣b+2b）（a﹣b﹣2b） =（a+b）（a﹣3b）． 故答案为：（a+b）（a﹣3b）．

点评：此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．

13．已知圆锥的侧面积等于60cm2，母线长10cm，则圆锥的高是 ☆ cm． 考点：圆锥的计算． 专题：计算题．

分析：设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于

≠0．

22圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到•2π•r•10=60π，解得r=6，然后根据勾股定理计算圆锥的高． 解答：解：设圆锥的底面圆的半径为r， 根据题意得•2π•r•10=60π， 解得r=6， 所以圆锥的高=

=8（cm）．

故答案为8．

点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

14．某市为提倡节约用水，采取分段收费．若每户每月用水不超过20m3，每立方米收费2 元；若用水超过20m3，超过部分每立方米加收1元．小明家5月份交水费 元，则他家该月用水 ☆ m3． 考点：一元一次方程的应用．

分析：20立方米时交40元，题中已知五月份交水费元，即已经超过20立方米，所以在元水费中有两部分构成，列方程即可解答．

解答：解：设该用户居民五月份实际用水x立方米，

161

故20×2+（x﹣20）×3=， 故x=28．

故答案是：28．

点评：本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．

15．观察下列等式：112，„„， 1322， 13532， 135742，则13572015 ☆ ． 考点：规律型：数字的变化类．

22222

分析：根据1=1；1+3=2；1+3+5=3；1+3+5+7=4；…，可得1+3+5+…+（2n﹣1）=n，据此求出1+3+5+…+2015的值是多少即可．

解答：解：因为1=1；1+3=2；1+3+5=3；1+3+5+7=4；…， 所以1+3+5+…+2015

=1+3+5+…+（2×1008﹣1）

=1008 =10160

故答案为：10160．

点评：此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答

2

此题的关键是判断出：1+3+5+…+（2n﹣1）=n．

16．如图，四边形ABCD是矩形纸片，AB2 ．对折矩形纸片ABCD，使AD与BC 重合，折痕为EF；展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N，

折痕BM与EF相交于点Q；再次展平，连接BN，MN，延长MN交BC于点G． 有如下结论：

①ABN60； ②AM1； ③QN2

2222

3； 3④△BMG是等边三角形； ⑤P为线段BM上一动点，

H是BN的中点，则PNPH的最小值是3．

(第16题)其中正确结论的序号是 ☆ ． 考点：几何变换综合题．

分析：①首先根据EF垂直平分AB，可得AN=BN；然后根据折叠的性质，可得AB=BN，据此判断出△ABN为等边三角形，即可判断出∠ABN=60°．

②首先根据∠ABN=60°，∠ABM=∠NBM，求出∠ABM=∠NBM=30°；然后在Rt△ABM中，根据AB=2，求出AM的大小即可．

③首先根据EF∥BC，QN是△MBG的中位线，可得QN=BG=BM=

，求出QN的长度即可．

BG；然后根据

④根据∠ABM=∠MBN=30°，∠BNM=∠BAM=90°，推得∠MBG=∠BMG=∠BGM=60°，即可推得△BMG是等边三角形．

162

⑤首先根据△BMG是等边三角形，点N是MG的中点，判断出BN⊥MG，即可求出BN的大小；然后根据P与Q重合时，PN+PH=PN+PE=EN，据此求出PN+PH的最小值是多少即可．

解答：解：如图1，连接AN，∵EF垂直平分AB， ∴AN=BN，

根据折叠的性质，可得 AB=BN，

∴AN=AB=BN．

∴△ABN为等边三角形．

∴∠ABN=60°，∠PBN=60°÷2=30°， 即结论①正确；

∵∠ABN=60°，∠ABM=∠NBM， ∴∠ABM=∠NBM=60°÷2=30°， ∴AM=

，

即结论②不正确．

∵EF∥BC，QN是△MBG的中位线， ∴QN=BG； ∵BG=BM=，

∴QN=

，

即结论③不正确．

∵∠ABM=∠MBN=30°，∠BNM=∠BAM=90°， ∴∠BMG=∠BNM﹣∠MBN=90°﹣30°=60°， ∴∠MBG=∠ABG﹣∠ABM=90°﹣30°=60°， ∴∠BGM=180°﹣60°﹣60°=60°， ∴∠MBG=∠BMG=∠BGM=60°， ∴△BMG为等边三角形， 即结论④正确．

∵△BMG是等边三角形，点N是MG的中点， ∴BN⊥MG，

163

，∴BN=BG•sin60°=，

P与Q重合时，PN+PH的值最小， ∵P是BM的中点，H是BN的中点， ∴PH∥MG， ∵MG⊥BN， ∴PH⊥BN， 又∵PE⊥AB， ∴PH=PE，

∴PN+PH=PN+PE=EN， ∵EN=

=

，

∴PN+PH=，

∴PN+PH的最小值是， 即结论⑤正确．

故答案为：①④⑤． 点评：（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了空间想象能力，考查了数形结合方法的应用，要熟练掌握．

（2）此题还考查了等边三角形的判定和性质的应用，以及矩形的性质和应用，要熟练掌握． （3）此题还考查了折叠的性质和应用，以及余弦定理的应用，要熟练掌握． 三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共8小题，满分72分．解答写在答题卡上） 17．（本题满分6分）

计算：2cos30131()1．

2考点：实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 专题：计算题．

分析：原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果． 解答：解：原式=2×

﹣

+1+2=3．

点评：

此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．（本题满分8分）

我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，

四边形ABCD是一个筝形，其中ABCB，ADCD． 对角线AC，BD相交于点O，OEAB，OFCB， 垂足分别是E，F．求证OEOF． (第18题)考点：全等三角形的判定与性质． 专题：证明题；新定义． 分析：欲证明OE=OF，只需推知BD平分∠ABC，所以通过全等三角形△ABD≌△CBD（SSS）的对应角相等得到∠ABD=∠CBD，问题就迎刃而解了．

1

解答：证明：∵在△ABD和△CBD中，，

∴△ABD≌△CBD（SSS）， ∴∠ABD=∠CBD， ∴BD平分∠ABC．

又∵OE⊥AB，OF⊥CB， ∴OE=OF．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 19．（本题满分9分）

2015年1月，市教育局在全市中小学中选取了63所学校从学生的思想品德、学业水平、学业负担、身心发展和兴趣特长五个维度进行了综合评价．

评价小组在选取的某中学七年级全体学生中随机抽取了若干名学生进行问卷调查，了解他们每天在课外用于学习的时间，并绘制成如下不完整的统计图．

频数/人 3～4小时 20% 1～2小时 

2～3小时

根据上述信息，解答下列问题：时间/ 小时（1）本次抽取的学生人数是 ☆ ；扇形统计图中的圆心角等于 ☆ ；

(第19题)补全统计直方图；（4分＝1分＋1分＋2分）

（2）被抽取的学生还要进行一次50米跑测试，每5人一组进行．在随机分组时，小红、小花两名女生被分到同一个小组，请用列表法或画树状图求出她俩在抽道次时抽在相邻两道的概率．（5分）

考点：列表法与树状图法；扇形统计图；利用频率估计概率． 分析：（1）根据题意列式求值，根据相应数据画图即可； （2）根据题意列表，然后根据表中数据求出概率即可． 解答：解：（1）6÷20%=30，（30﹣3﹣7﹣6﹣2）÷30×360=12÷30×26=144°， 答：本次抽取的学生人数是30人；扇形统计图中的圆心角α等于144°； 故答案为：30，144°； 补全统计图如图所示：

（2）根据题意列表如下：

设竖列为小红抽取的跑道，横排为小花抽取的跑道， 1 2 3 4 5 小红 小花 1 （2，1） （3，1） （4，1） （5，1） 2 （1，2） （3，2） （4，2） （5，2） 3 （1，3） （2，3） （4，3） （5，3） 时4～5小 165

0～1小时4 （1，4） （2，4） （3，4） （5，4） 5 （1，5） （2，5） （3，5） （4，5） 记小红和小花抽在相邻两道这个事件为A， ∴

．

点评：本题考查了列表法和树状图法求概率，频数分布直方图，扇形统计图，正确的识图是解题的关键．

20．（本题满分8分） 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（（1）用直尺和圆规作出（2）若

）．

所在圆的圆心O；（要求保留作图痕迹，不写作法）（4分）

所在圆的半径．（4分）

的中点C到弦AB的距离为20m，AB80m，求

C

AB

(第20题)考点：作图—复杂作图；勾股定理；垂径定理的应用．

专题：作图题． 分析：（1）连结AC、BC，分别作AC和BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O，如图1；

（2）连接OA，OC，OC交AB于D，如图2，根据垂径定理的推论，由C为的中点得

到OC⊥AB，AD=BD=AB=40，则CD=20，设⊙O的半径为r，在Rt△OAD中利用勾股定理得到r=（r﹣20）+40，然后解方程即可． 解答：

166

2

2

2

解：（1）如图1，

点O为所求；

（2）连接OA，OC，OC交AB于D，如图2， ∵C为

的中点，

∴OC⊥AB， ∴AD=BD=AB=40，

设⊙O的半径为r，则OA=r，OD=OD﹣CD=r﹣20，

222

在Rt△OAD中，∵OA=OD+BD， 222

∴r=（r﹣20）+40，解得r=50， 即

所在圆的半径是50m．

点评：本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法；解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了勾股定理和垂径定理． 21．（本题满分9分） 某服装公司招工广告承诺：熟练工人每月工资至少3000元．每天工作8小时，一个月工作25天．月工资底薪800元，另加计件工资．加工1件A型服装计酬16元，加工1件B型服装计酬12元．在工作中发现一名熟练工加工1件A型服装和2件B型服装需4小时，加工3件A型服装和1件B型服装需7小时．（工人月工资＝底薪＋计件工资）

（1）一名熟练工加工1件A型服装和1件B型服装各需要多少小时？（4分） （2）一段时间后，公司规定：“每名工人每月必须加工A，B两种型号的服装，且加工A型服装数量不少于B型服装的一半”．设一名熟练工人每月加工A型服装a件，工资总额为W元．请你运用所学知识判断该公司在执行规定后是否违背了广告承诺？（5分）

167

考点：一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用． 分析：（1）设熟练工加工1件A型服装需要x小时，加工1件B型服装需要y小时，根据“一名熟练工加工1件A型服装和2件B型服装需4小时，加工3件A型服装和1件B型服装需7小时”，列出方程组，即可解答． （2）当一名熟练工一个月加工A型服装a件时，则还可以加工B型服装（25×8﹣2a）件．从而得到W=﹣8a+3200，再根据“加工A型服装数量不少于B型服装的一半”，得到a≥50，利用一次函数的性质，即可解答． 解答：解：（1）设熟练工加工1件A型服装需要x小时，加工1件B型服装需要y小时．

由题意得：解得：

，

…（3分）

答：熟练工加工1件A型服装需要2小时，加工1件B型服装需要1小时．

（2）当一名熟练工一个月加工A型服装a件时，则还可以加工B型服装（25×8﹣2a）件． ∴W=16a+12（25×8﹣2a）+800， ∴W=﹣8a+3200， 又∵a≥

，

解得：a≥50， ∵﹣8＜0，

∴W随着a的增大则减小，

∴当a=50时，W有最大值2800． ∵2800＜3000，

∴该服装公司执行规定后违背了广告承诺．

点评：本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是关键题意列出方程组和一次函数解+析+式，利用一次函数的性质解决实际问题． 22．（本题满分10分）

已知关于x的一元二次方程：x(m3)xm0． （1）试判断原方程根的情况；（4分）

2 0)，B(x2， 0)两点，则A，B两点（2）若抛物线yx(m3)xm与x轴交于A(x1，间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由． （友情提示：ABx1x2）（6分）

考点：抛物线与x轴的交点；根的判别式． 分析：（1）根据根的判别式，可得答案；

（2）根据根与系数的关系，可得A、B间的距离，根据二次函数的性质，可得答案． 解答：

222

解：（1）△=[﹣（m﹣3）]﹣4（﹣m）=m﹣2m+9=（m﹣1）+8，

2 168

∵（m﹣1）≥0，

2

∴△=（m﹣1）+8＞0，

∴原方程有两个不等实数根； （2）存在，

由题意知x1，x2是原方程的两根， ∴x1+x2=m﹣3，x1•x2=﹣m． ∵AB=|x1﹣x2，

222

∴AB=（x1﹣x2）=（x1+x2）﹣4x1x2

22

=（m﹣3）﹣4（﹣m）=（m﹣1）+8，

2

∴当m=1时，AB有最小值8， ∴AB有最小值，即AB==2

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，利用了根的判别式，根据根与系数的关系，利用完全平方公式得出二次函数是解题关键，又利用了二次函数的性质． 23．（本题满分10分）

如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CGAB，垂足为D．

E（1）求证：PCAABC；（4分） C（2）过点A作AE//PC交⊙O于点E，交CD于点F，

连接BE．若sinP2

G考点：切线的性质；勾股定理；解直角三角形．

(第23题)分析：（1）连接OC，由PC切⊙O于点C，得到OC⊥PC，于是得到∠PCA+∠OCA=90°，由AB为⊙O的直径，得到∠ABC+∠OAC=90°，由于OC=OA，证得∠OCA=∠OAC，于是得到结论；

3，CF5，求BE的长．（6分） 5PFADOB（2）由AE∥PC，得到∠PCA=∠CAF根据垂径定理得到，于是得到∠ACF=∠ABC，

由于∠PCA=∠ABC，推出∠ACF=∠CAF，根据等腰三角形的性质得到CF=AF，在Rt△AFD中，AF=5，sin∠FAD=，求得FD=3，AD=4，CD=8，在Rt△OCD中，设OC=r，根据勾股定理得到方程r=（r﹣4）+8，解得r=10，得到AB=2r=20，由于AB为⊙O的直径，得到∠AEB=90°，在Rt△ABE中，由sin∠EAD=，得到解答：（1）证明：连接OC，

∵PC切⊙O于点C， ∴OC⊥PC， ∴∠PCO=90°，

∴∠PCA+∠OCA=90°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°，

于是求得结论．

2

2

2

169

∴∠ABC+∠OAC=90°， ∵OC=OA，

∴∠OCA=∠OAC， ∴∠PCA=∠ABC；

（2）解：∵AE∥PC， ∴∠PCA=∠CAF， ∵AB⊥CG， ∴

，

∴∠ACF=∠ABC， ∵∠PCA=∠ABC， ∴∠ACF=∠CAF， ∴CF=AF， ∵CF=5， ∴AF=5， ∵AE∥PC， ∴∠FAD=∠P， ∵sin∠P=， ∴sin∠FAD=，

在Rt△AFD中，AF﹣5，sin∠FAD=，∴FD=3，AD=4，∴CD=8， 在Rt△OCD中，设OC=r， ∴r2=（r﹣4）2+82， ∴r=10，

∴AB=2r=20，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠AEB=90°，在Rt△ABE中， ∵sin∠EAD=，∴，

∵AB=20， ∴BE=12．

170

点评：本题考查了切线的性质，锐角三角函数，圆周角定理，等腰三角形的性质，连接OC构造直角三角形是解题的关键． 24．（本题满分12分） 在平面直角坐标系中，抛物线y12xbxc与x轴交于点A，B，与y轴交于点2C，直线yx4经过A，C两点．

（1）求抛物线的解+析+式；（3分）

（2）在AC上方的抛物线上有一动点P．

①如图1，当点P运动到某位置时，以AP，AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点P的坐标；（4分）

②如图2，过点O，P的直线ykx交AC于点E，若PE:OE3:8，求k的值． （5分）

yy

CC

PP

E

BABA xxOO

图 1图 2(第24题)

考点：二次函数综合题． 分析：（1）由直线的解+析+式y=x+4易求点A和点C的坐标，把A和C的坐标分别代入

y=﹣x+bx+c求出b和c的值即可得到抛物线的解+析+式；

（2）①若以AP，AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上，则PQ∥AO，再根据抛物线的对称轴可求出点P的横坐标，由（1）中的抛物线解+析+式，进而可求出其纵坐标，问题得解；

②过P点作PF∥OC交AC于点F，因为PF∥OC，所以△PEF∽△OEC，由相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出PF的长，进而可设点点F（x，x+4），利用

，可求出x的值，解方程求出x的值可得点P的坐标，

代入直线y=kx即可求出k的值． 解答：解：（1）∵直线y=x+4经过A，C两点， ∴A点坐标是（﹣4，0），点C坐标是（0，4）， 又∵抛物线过A，C两点，

2

171

∴，解得：，

∴抛物线的解+析+式为（2）①如图1 ∵

，

．

∴抛物线的对称轴是直线x=﹣1．

∵以AP，AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上， ∴PQ∥AO，PQ=AO=4． ∵P，Q都在抛物线上，

∴P，Q关于直线x=﹣1对称， ∴P点的横坐标是﹣3， ∴当x=﹣3时，∴P点的坐标是

；

，

②过P点作PF∥OC交AC于点F， ∵PF∥OC，

∴△PEF∽△OEC， ∴又∵∴

， ．

，

设点F（x，x+4）， ∴

2

，

化简得：x+4x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=﹣3． 当x=﹣1时，即P点坐标是

又∵点P在直线y=kx上， ∴

．

；当x=﹣3时，

或

，

．

172

点评：本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解+析+式，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，题目综合性较强，难度不大，是一道的中考题．

湖北省宜昌市2015年中考数学试卷

一、选择题（下列各题中，只有一个选项是符合题目要求的，本大题共15小题，每小题3分，计45分）

1．中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4400000000人，这个数用科学记数法表示为（ ） 810 A．B． C． D． 44×10 4.4×10 4.4×10 4.4×10 考点： 科学记数法—表示较大的数． n分析： 科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 9解答： 解：4 400 000 000=4.4×10， 故选：B． n点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2．（3分）（2015•宜昌）下列剪纸图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A．B． C． D． 考点： 中心对称图形；轴对称图形． 分析： 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 解答： 解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； B、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；即不满足轴对称图形的定义．是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后 173

它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误． 故选：A． 点评： 此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 3．（3分）（2015•宜昌）陆地上最高处是珠穆朗玛峰顶，高出海平面8848m，记为+8848m；陆地上最低处是地处亚洲西部的死海，低于海平面约415m，记为（ ） ±415m +415m A．B． ﹣415m C． D． ﹣8848m 考点： 正数和负数． 分析： 根据用正负数表示两种具有相反意义的量的方法，可得：高出海平面8848m，记为+8848m；则低于海平面约415m，记为﹣415m，据此解答即可． 解答： 解：∵高出海平面8848m，记为+8848m； ∴低于海平面约415m，记为﹣415m． 故选：B． 点评： 此题主要考查了用正负数表示两种具有相反意义的量，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量． 4．（3分）（2015•宜昌）某校对九年级6个班学生平均一周的课外阅读时间进行了统计，分别为（单位：h）：3.5，4，3.5，5，5，3.5．这组数据的众数是（ ） 3 3.5 4 5 A．B． C． D． 考点： 众数． 分析： 一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，依此求解即可． 解答： 解：在这一组数据中3.5出现了3次，次数最多，故众数是3.5． 故选B． 点评： 本题考查了众数的定义，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据． 5．（3分）（2015•宜昌）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分为6个大小相同的扇形，指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），指针指向阴影区域的概率是（ ）

A． B． C． D． 考点： 几何概率． 分析： 求出阴影在整个转盘中所占的比例即可解答． 174

解答： 解：∵每个扇形大小相同，因此阴影面积与空白的面积相等， ∴落在阴影部分的概率为：=． 故选：C． 点评： 此题主要考查了几何概率，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比． 6．（3分）（2015•宜昌）下列式子没有意义的是（ ） A．B． C． D． 考点： 二次根式有意义的条件． 分析： 根据二次根式的被开方数是非负数，可得答案． 解答： 解：A、没有意义，故A符合题意； B、C、D、有意义，故B不符合题意； 有意义，故C不符合题意； 有意义，故D不符合题意； 故选：A． 点评： 本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数是解题关键． 7．（3分）（2015•宜昌）不等式组 A． B． 的解集在数轴上表示正确的是（ ） C． D． 考点： 在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组． 分析： 根据不等式的基本性质来解不等式组，两个不等式的解集的交集，就是该不等式组的解集；然后把不等式的解集根据不等式解集在数轴上的表示方法画出图示． 解答： 解：不等式组的解集是﹣1≤x≤3，其数轴上表示为： 故选B 点评： 不等式组的解集：不等式组的解集可以先求这些个不等式各自的解，然后再找它们的相交的公共部分（最好先在数轴上画出它们的解），找它们的相交的公共部分可以用这个口诀记住：同小取小，同大取大；比大的小，比小的大，取中间；比大的大，比小的小，无解． 8．（3分）（2015•宜昌）下列图形具有稳定性的是（ ） A．正方形 B． 矩形 C． 平行四边形 D． 直角三角形 考点： 三角形的稳定性；多边形． 分析： 根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断． 解答： 解：直角三角形具有稳定性． 175

故选：D． 点评： 此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，正确掌握三角形的性质是解题关键． 9．（3分）（2015•宜昌）下列图形中可以作为一个三棱柱的展开图的是（ ） A．B． C． D． 考点： 几何体的展开图． 分析： 三棱柱展开后，侧面是三个长方形，上下底各是一个三角形． 解答： 解：三棱柱展开后，侧面是三个长方形，上下底各是一个三角形由此可得： 只有A是三棱柱的展开图． 故选：A 点评： 此题主要考查了三棱柱表面展开图，注意上、下两底面应在侧面展开图长方形的两侧． 10．（3分）（2015•宜昌）下列运算正确的是（ ） 23522244834 A．B． C． （x）=x （x﹣y）=x﹣y D． x+x=2x x•x=x 考点： 幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法；完全平方公式． 分析： A：根据合并同类项的方法判断即可． B：根据幂的乘方的运算方法判断即可． C：根据完全平方公式的计算方法判断即可． D：根据同底数幂的乘法法则判断即可． 444解答： 解：∵x+x=2x， ∴选项A不正确； ∵（x）=x， ∴选项B不正确； ∵（x﹣y）=x﹣2xy+y， ∴选项C不正确； 34∵x•x=x， ∴选项D正确． 故选：D． 点评： （1）此题主要考查了幂的乘方和积的乘方，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：mnmnnnn①（a）=a（m，n是正整数）；②（ab）=ab（n是正整数）． （2）此题还考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数必须相同；②按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加． （3）此题还考查了完全平方公式，以及合并同类项的方法，要熟练掌握． 222236 176

11．（3分）（2015•宜昌）如图，圆形铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O，三角尺的直角顶点C落在直尺的10cm处，铁片与直尺的唯一公共点A落在直尺的14cm处，铁片与三角尺的唯一公共点为B，下列说法错误的是（ ）

A．圆形铁片的半径是4cm 弧AB的长度为4πcm C． B． 四边形AOBC为正方形 2D． 扇形OAB的面积是4πcm 考点： 切线的性质；正方形的判定与性质；弧长的计算；扇形面积的计算． 专题： 应用题． 分析： 由BC，AC分别是⊙O的切线，B，A为切点，得到OA⊥CA，OB⊥BC，又∠C=90°，OA=OB，推出四边形AOBC是正方形，得到OA=AC=4，故A，B正确；根据扇形的弧长、面积的计算公式求出结果即可进行判断． 解答： 解：由题意得：BC，AC分别是⊙O的切线，B，A为切点， ∴OA⊥CA，OB⊥BC， 又∵∠C=90°，OA=OB， ∴四边形AOBC是正方形， ∴OA=AC=4，故A，B正确； ∴的长度为：=2π，故C错误； =4π，故D正确． S扇形OAB=故选C． 点评： 本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，扇形的弧长、面积的计算，熟记计算公式是解题的关键． 12．（3分）（2015•宜昌）如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1=50°，则∠2的度数是（ ）

60° 40° 30° A．C． D． 考点： 平行线的性质． 分析： 先根据直角三角形的性质求出∠D的度数，再由平行线的性质即可得出结论． 解答： 解：∵FE⊥DB， ∵∠DEF=90°． ∵∠1=50°， 50° B． 177

∴∠D=90°﹣50°=40°． ∵AB∥CD， ∴∠2=∠D=40°． 故选C． 点评： 本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等． 13．（3分）（2015•宜昌）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论： ①AC⊥BD；②AO=CO=AC；③△ABD≌△CBD， 其中正确的结论有（ ）

A．0个 B． 1个 C． 2个 D． 3个 考点： 全等三角形的判定与性质． 专题： 新定义． 分析： 先证明△ABD与△CBD全等，再证明△AOD与△COD全等即可判断． 解答： 解：在△ABD与△CBD中， ， ∴△ABD≌△CBD（SSS）， 故③正确； ∴∠ADB=∠CDB， 在△AOD与△COD中， ， ∴△AOD≌△COD（SAS）， ∴∠AOD=∠COD=90°，AO=OC， ∴AC⊥DB， 故①②正确； 故选D 点评： 此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SSS证明△ABD与△CBD全等和利用SAS证明△AOD与△COD全等． 14．（3分）（2015•宜昌）如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（ ）

178

A．1个 C． 3个 D． 4个 考点： 全等三角形的判定． 分析： 根据全等三角形的判定得出点P的位置即可． 解答： 解：要使△ABP与△ABC全等，点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离，即3个单位长度，故点P的位置可以是P1，P3，P4三个， 故选C 点评： 此题考查全等三角形的判定，关键是利用全等三角形的判定进行判定点P的位置． B． 2个 15．（3分）（2015•宜昌）如图，市煤气公司计划在地下修建一个容积为10m的圆柱形煤

2

气储存室，则储存室的底面积S（单位：m）与其深度d（单位：m）的函数图象大致是（ ）

43

A．B． C． D． 考点： 反比例函数的应用；反比例函数的图象． 分析： 根据储存室的体积=底面积×高即可列出反比例函数关系，从而判定正确的结论． 4解答： 解：由储存室的体积公式知：10=Sd， 故储存室的底面积S（m）与其深度d（m）之间的函数关系式为S=2（d＞0）为反比例函数． 故选：A． 点评： 本题考查了反比例函数的应用及反比例函数的图象，解题的关键是根据自变量的取值范围确定双曲线的具体位置，难度不大． 二、解答题（本大题共9小题，计75分）

16．（6分）（2015•宜昌）计算：|﹣2|+3﹣（﹣6）×（﹣）．

0

179

考点： 实数的运算；零指数幂． 专题： 计算题． 分析： 原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用乘法法则计算即可得到结果． 解答： 解：原式=2+1﹣3=0． 点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 17．（6分）（2015•宜昌）化简： +．

考点： 分式的加减法． 分析： 首先约分，然后根据同分母分式加减法法则，求出算式+的值是多少即可． 解答： 解：+ === =1． 点评： 此题主要考查了分式的加减法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减法． 18．（7分）（2015•宜昌）如图，一块余料ABCD，AD∥BC，现进行如下操作：以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于GH的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E． （1）求证：AB=AE；

（2）若∠A=100°，求∠EBC的度数．

180

考点： 作图—基本作图；等腰三角形的判定与性质． 分析： （1）根据角平分线的性质，可得∠AEB=∠EBC，根据角平分线的性质，可得∠EBC=∠ABE，根据等腰三角形的判定，可得答案； （2）根据三角形的内角和定理，可得∠AEB，根据平行线的性质，可得答案． 解答： （1）证明：∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠EBC． 由BE是∠ABC的角平分线， ∴∠EBC=∠ABE， ∴∠AEB=∠ABE， ∴AB=AE； （2）由∠A=100°，∠ABE=∠AEB，得 ∠ABE=∠AEB=40°． 由AD∥BC，得 ∠EBC=∠AEB=40°． 点评： 本题考查了等腰三角形的判定，利用了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定． 19．（7分）（2015•宜昌）901班的全体同学根据自己的兴趣爱好参加了六个学生社团（每个学生必须参加且只参加一个），为了了解学生参加社团的情况，学生会对该班参加各个社团的人数进行了统计，绘制成了如图不完整的扇形统计图，已知参加“读书社”的学生有15人，请解答下列问题：

（1）该班的学生共有 60 名；

（2）若该班参加“吉他社”与“街舞社”的人数相同，请你计算，“吉他社”对应扇形的圆心角的度数；

（3）901班学生甲、乙、丙是“爱心社”的优秀社员，现要从这三名学生中随机选两名学生参加“社区义工”活动，请你用画树状图或列表的方法求出恰好选中甲和乙的概率．

考点： 列表法与树状图法；扇形统计图． 分析： （1）利用参加“读书社”的学生数除以所占比例进而求出总人数； 181

（2）首先求出参加“吉他社”的学生在全班学生中所占比例，进而求出对应扇形的圆心角的度数； （3）首先画出树状图，进而求出恰好选中甲和乙的概率． 解答： 解：（1）∵参加“读书社”的学生有15人，且在扇形统计图中，所占比例为：25%， ∴该班的学生共有：15÷25%=60（人）； 故答案为：60； （2）参加“吉他社”的学生在全班学生中所占比例为： =10%， 所以，“吉他社”对应扇形的圆心角的度数为：360°×10%=36°； （3）画树状图如下： ， 由树状图可知，共有6种可能的情况，其中恰好选中甲和乙的情况有2种， 故P（选中甲和乙）==． 点评： 此题考查了扇形统计图以及树状图法求概率，弄清题意得出正确信息是解本题的关键． 20．（8分）（2015•宜昌）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D为边CB上的一个动点（点D不与点B重合），过D作DO⊥AB，垂足为O，点B′在边AB上，且与点B关于直线DO对称，连接DB′，AD． （1）求证：△DOB∽△ACB；

（2）若AD平分∠CAB，求线段BD的长；

（3）当△AB′D为等腰三角形时，求线段BD的长．

考点： 相似形综合题． 分析： （1）由∠DOB=∠ACB=90°，∠B=∠B，容易证明△DOB∽△ACB； （2）先由勾股定理求出AB，由角平分线的性质得出DC=DO，再由HL证明Rt△ACD≌Rt△AOD，得出AC=AO，设BD=x，则DC=DO=8﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可； 182

（3）根据题意得出当△AB′D为等腰三角形时，AB′=DB′，由△DOB∽△ACB，得出=，设BD=5x，则AB′=DB′=5x，BO=B′O=4x，由AB′+B′O+BO=AB，得出方程，解方程求出x，即可得出BD． 解答： （1）证明：∵DO⊥AB， ∴∠DOB=∠DOA=90°， ∴∠DOB=∠ACB=90°， 又∵∠B=∠B， ∴△DOB∽△ACB； （2）解：∵∠ACB=90°， ∴AB===10， ∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DO⊥AB， ∴DC=DO， 在Rt△ACD和Rt△AOD中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△AOD（HL）， ∴AC=AO=6， 设BD=x，则DC=DO=8﹣x，OB=AB﹣AO=4， 222在Rt△BOD中，根据勾股定理得：DO+OB=BD， 222即（8﹣x）+4=x， 解得：x=5， ∴BD的长为5； （3）解：∵点B′与点B关于直线DO对称， ∴∠B=∠OB′D，BO=B′O，BD=B′D， ∵∠B为锐角， ∴∠OB′D也为锐角， ∴∠AB′D为钝角， ∴当△AB′D为等腰三角形时，AB′=DB′， ∵△DOB∽△ACB， ∴==， 设BD=5x， 则AB′=DB′=5x，BO=B′O=4x， ∵AB′+B′O+BO=AB， ∴5x+4x+4x=10， 解得：x=∴BD=， ． 点评： 本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要根据题意列出方程，解方程才能得出结果．

183

21．（8分）（2015•宜昌）如图，已知点A（4，0），B（0，4），把一个直角三角尺DEF放在△OAB内，使其斜边FD在线段AB上，三角尺可沿着线段AB上下滑动．其中∠EFD=30°，ED=2，点G为边FD的中点． （1）求直线AB的解+析+式；

（2）如图1，当点D与点A重合时，求经过点G的反比例函数y=（k≠0）的解+析+式； （3）在三角尺滑动的过程中，经过点G的反比例函数的图象能否同时经过点F？如果能，求出此时反比例函数的解+析+式；如果不能，说明理由．

考点： 反比例函数综合题． 分析： （1）设直线AB的解+析+式为y=kx+b，把点A、B的坐标代入，组成方程组，解方程组求出k、b的值即可； （2）由Rt△DEF中，求出EF、DF，在求出点D坐标，得出点F、G坐标，把点G坐标代入反比例函数求出k即可； （3）设F（t，﹣t+4），得出D、G坐标，设过点G和F的反比例函数解+析+式为y=，用待定系数法求出t、m，即可得出反比例函数解+析+式． 解答： 解：（1）设直线AB的解+析+式为y=kx+b， ∵A（4，0），B（0，4）， ∴， 解得： ， ∴直线AB的解+析+式为：y=﹣x+4； （2）∵在Rt△DEF中，∠EFD=30°，ED=2， ∴EF=2，DF=4， ∵点D与点A重合， ∴D（4，0）， ∴F（2，2）， ∴G（3，），

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∵反比例函数y=经过点G， ∴k=3， ； ∴反比例函数的解+析+式为：y=（3）经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F；理由如下： ∵点F在直线AB上， ∴设F（t，﹣t+4）， 又∵ED=2， ∴D（t+2，﹣t+2）， ∵点G为边FD的中点． ∴G（t+1，﹣t+3）， 若过点G的反比例函数的图象也经过点F， 设解+析+式为y=， 则， 整理得：（﹣解得：t=， ∴m=， t+3）（t+1）=（﹣t+4）t， ∴经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F，这个反比例函数解+析+式为：y=． 点评： 本题是反比例函数综合题目，考查了用待定系数法求一次函数的解+析+式、求反比例函数的解+析+式、坐标与图形特征、解直角三角形、解方程组等知识；本题难度较大，综合性强，用待定系数法确定一次函数和反比例函数的解+析+式是解决问题的关键． 22．（10分）（2015•宜昌）全民健身和医疗保健是社会普遍关注的问题，2014年，某社区共投入30万元用于购买健身器材和药品．

（1）若2014年社区购买健身器材的费用不超过总投入的，问2014年最低投入多少万元购买药品？

（2）2015年，该社区购买健身器材的费用比上一年增加50%，购买药品的费用比上一年减少

，但社区在这两方面的总投入仍与2014年相同．

①求2014年社区购买药品的总费用；

②据统计，2014年该社区积极健身的家庭达到200户，社区用于这些家庭的药品费用明显减少，只占当年购买药品总费用的，与2014年相比，如果2015年社区内健身家庭户数增

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加的百分比与平均每户健身家庭的药品费用降低的百分比相同，那么，2015年该社区用于健身家庭的药品费用就是当年购买健身器材费用的，求2015年该社区健身家庭的户数． 考点： 一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用． 专题： 应用题． 分析： （1）设2014年购买药品的费用为x万元，根据购买健身器材的费用不超过总投入的，列出不等式，求出不等式的解集即可得到结果； （2）①设2014年社区购买药品的费用为y万元，则购买健身器材的费用为（30﹣y）万元，2015年购买健身器材的费用为（1+50%）（30﹣y）万元，购买药品的费用为（1﹣）y万元，根据题意列出方程，求出方程的解得到y的值，即可得到结果； ②设这个相同的百分数为m，则2015年健身家庭的药品费用为200（1+m），根据2015年该社区用于健身家庭的药品费用就是当年购买健身器材费用的，列出方程，求出方程的解即可得到结果． 解答： 解：（1）设2014年购买药品的费用为x万元， 根据题意得：30﹣x≤×30， 解得：x≥10， 则2014年最低投入10万元购买商品； （2）①设2014年社区购买药品的费用为y万元，则购买健身器材的费用为（30﹣y）万元， 2015年购买健身器材的费用为（1+50%）（30﹣y）万元，购买药品的费用为（1﹣y万元， 根据题意得：（1+50%）（30﹣y）+（1﹣）y=30， ）解得：y=16，30﹣y=14， 则2014年购买药品的总费用为16万元； ②设这个相同的百分数为m，则2015年健身家庭的药品费用为200（1+m）， 2015年平均每户健身家庭的药品费用为（1﹣m）万元， 依题意得：200（1+m）•解得：m=±， ∵m＞0，∴m==50%， （1﹣m）=（1+50%）×14×， ∴200（1+m）=300（户）， 则2015年该社区健身家庭的户数为300户．

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点评： 此题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用，以及一元一次不等式的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 23．（11分）（2015•宜昌）如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点E，F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作⊙O，交DC于D，G两点，AD分别于EF，GF交于I，H两点． （1）求∠FDE的度数；

（2）试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论； （3）当G为线段DC的中点时， ①求证：FD=FI；

②设AC=2m，BD=2n，求⊙O的面积与菱形ABCD的面积之比．

考点： 圆的综合题；等腰三角形的判定；直角三角形斜边上的中线；勾股定理；三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质． 专题： 综合题． 分析： （1）根据直径所对的圆周角是直角即可得到∠FDE=90°； （2）由四边形ABCD是菱形可得AB∥CD，要证四边形FACD是平行四边形，只需证明DF∥AC，只需证明∠AEB=∠FDE，由于∠FDE=90°，只需证明∠AEB=90°，根据四边形ABCD是菱形即可得到结论； （3）①连接GE，如图，易证GE是△ACD的中位线，即可得到GE∥DA，即可得到∠FHI=∠FGE=∠FGE=90°．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DG=GE，从而有=，根据圆周角定理可得∠1=∠2，根据等角的余角相等可得）=πm，S菱形22∠3=∠4，根据等角对等边可得FD=DI；②易知S⊙O=π（ABCD=•2m•2n=2mn，要求⊙O的面积与菱形ABCD的面积之比，只需得到m与n的关系，易证EI=EA=m，DF=AC=2m，EF=FI+IE=DF+AE=3m，在Rt△DEF中运用勾股定理即可解决问题． 解答： 解：（1）∵EF是⊙O的直径，∴∠FDE=90°； （2）四边形FACD是平行四边形． 理由如下： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，AC⊥BD， ∴∠AEB=90°． 又∵∠FDE=90°，

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∴∠AEB=∠FDE， ∴AC∥DF， ∴四边形FACD是平行四边形； （3）①连接GE，如图． ∵四边形ABCD是菱形，∴点E为AC中点． ∵G为线段DC的中点，∴GE∥DA， ∴∠FHI=∠FGE． ∵EF是⊙O的直径，∴∠FGE=90°， ∴∠FHI=90°． ∵∠DEC=∠AEB=90°，G为线段DC的中点， ∴DG=GE， ∴=， ∴∠1=∠2． ∵∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°， ∴∠3=∠4， ∴FD=FI； ②∵AC∥DF，∴∠3=∠6． ∵∠4=∠5，∠3=∠4， ∴∠5=∠6，∴EI=EA． ∵四边形ABCD是菱形，四边形FACD是平行四边形， ∴DE=BD=n，AE=AC=m，FD=AC=2m， ∴EF=FI+IE=FD+AE=3m． 在Rt△EDF中，根据勾股定理可得： 222n+（2m）=（3m）， 即n=m， ∴S⊙O=π（）2=πm，S菱形ABCD=•2m•2n=2mn=2． 2m， 2∴S⊙O：S菱形ABCD= 点评： 本题主要考查了菱形的性质、圆周角定理、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形中位线定理、等角的余角相等、等角对等边、平行线的性质、勾股定理、圆及菱形的面积公式等知识，综合性强，证到IE=EA，进而得到EF=3m是解决第3（2）小题的关键．

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24．（12分）（2015•宜昌）如图1，B（2m，0），C（3m，0）是平面直角坐标系中两点，其中m为常数，且m＞0，E（0，n）为y轴上一动点，以BC为边在x轴上方作矩形ABCD，使AB=2BC，画射线OA，把△ADC绕点C逆时针旋转90°得△A′D′C′，连接ED′，抛物线

2

y=ax+bx+n（a≠0）过E，A′两点．

（1）填空：∠AOB= 45 °，用m表示点A′的坐标：A′（ m ， ﹣m ）； （2）当抛物线的顶点为A′，抛物线与线段AB交于点P，且

=时，△D′OE与△ABC是

否相似？说明理由；

（3）若E与原点O重合，抛物线与射线OA的另一个交点为点M，过M作MN⊥y轴，垂足为N：

①求a，b，m满足的关系式；

②当m为定值，抛物线与四边形ABCD有公共点，线段MN的最大值为10，请你探究a的取值范围．

考点： 二次函数综合题． 专题： 综合题． 分析： （1）由B与C的坐标求出OB与OC的长，根据OC﹣OB表示出BC的长，由题意AB=2BC，表示出AB，得到AB=OB，即三角形AOB为等腰直角三角形，即可求出所求角的度数；由旋转的性质得：OD′=D′A′=m，即可确定出A′坐标； （2）△D′OE∽△ABC，理由如下：根据题意表示出A与B的坐标，由=，表示出P坐标，由抛物线的顶点为A′，表示出抛物线解+析+式，把点E坐标代入整理得到m与n的关系式，利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似即可得证； 2（3）①当E与原点重合时，把A与E坐标代入y=ax+bx+c，整理即可得到a，b，m的关系式； ②抛物线与四边形ABCD有公共点，可得出抛物线过点C时的开口最大，过点A时的开口最小，分两种情况考虑：若抛物线过点C（3m，0），此时MN的最大值为10，求出此时a的值；若抛物线过点A（2m，2m），求出此时a的值，即可确定出抛物线与四边形ABCD有公共点时a的范围． 解答： 解：（1）∵B（2m，0），C（3m，0）， ∴OB=2m，OC=3m，即BC=m， ∵AB=2BC， ∴AB=2m=0B，

1

∵∠ABO=90°， ∴△ABO为等腰直角三角形， ∴∠AOB=45°， 由旋转的性质得：OD′=D′A′=m，即A′（m，﹣m）； 故答案为：45；m，﹣m； （2）△D′OE∽△ABC，理由如下： 由已知得：A（2m，2m），B（2m，0）， ∵=， ∴P（2m，m）， ∵A′为抛物线的顶点， ∴设抛物线解+析+式为y=a（x﹣m）﹣m， ∵抛物线过点E（0，n）， 2∴n=a（0﹣m）﹣m，即m=2n， ∴OE：OD′=BC：AB=1：2， ∵∠EOD′=∠ABC=90°， ∴△D′OE∽△ABC； （3）①当点E与点O重合时，E（0，0）， ∵抛物线y=ax+bx+c过点E，A， ∴， 22整理得：am+b=﹣1，即b=﹣1﹣am； ②∵抛物线与四边形ABCD有公共点， ∴抛物线过点C时的开口最大，过点A时的开口最小， 若抛物线过点C（3m，0），此时MN的最大值为10， ∴a（3m）2﹣（1+am）•3m=0， 整理得：am=，即抛物线解+析+式为y=x﹣x， 2由A（2m，2m），可得直线OA解+析+式为y=x， 联立抛物线与直线OA解+析+式得：解得：x=5m，y=5m，即M（5m，5m）， 令5m=10，即m=2， 当m=2时，a=； 若抛物线过点A（2m，2m），则a（2m）﹣（1+am）•2m=2m， 解得：am=2， ∵m=2， ∴a=1， 则抛物线与四边形ABCD有公共点时a的范围为≤a≤1． 2， 190

点评： 此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，等腰直角三角形的判定与性质，直线与抛物线的交点，以及二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键． 191