爱智康2016~2017学年北京西城区北京四中初二上学期期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1.下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（ ）．A.x2−x−2=x(x−1)−2B.(x+1)(x−1)=x2−1C.x2−4x+4=(x−2)2D.x−1=x(1−1)2.下列不适合全面调查的是（ ）．A.老师检查全班同学完成作业情况C.汽车公司检测安全气囊在撞击时的保护作用3.用科学记数法表示0.00003082为（ ）．A.3.082×10−5B.308.2×10−74.已知x≠0，则1x+12x+13x等于（ ）．A.12xB.16x5.如图，已知AB=CD，BC=AD，∠B=23∘，则∠A.67∘B.46∘6.已知一个样本27，23，25，27，29，31，27，30，328的范围是（ ）．A.24.5~ 26.5B.26.5~ 28.57.下列各式正确的有（ ）．（1）−a−ba+b（2）−ca−=−；−dba−+c+dc+d=bc；（3）−a−ba++dbc−d=−c−d；−a−b−a−bB.人口普查D.机场安检C.0.3082×10C.56x为（ ）．C.23∘28，31，28，26，C.28.5~ 30.5xD.30.82×10−6D.116xD.无法确定29，28，24，26，27，30，那么频数为D.30.5~ 32.5−4D，27，智康（4）−a−b−a−b=−．c−dc+dB.2个C.3个D.4个爱A.1个8.如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果∠BAF=60∘，那么∠DAE等于（ ）．A.60∘B.45∘C.30∘D.15∘9.以图中方格纸的3个格点为顶点画出三角形，不全等的三角形有（ ）种．A.8B.9C.10D.1110.若三角形的三条边的长分别为a、b、c，且a2b−a2c+b2c−b3=0，则这个三角形一定是（ ）．A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形二、填空题（每题4分，共24分）4x+3的值为正数；当x 时，分式的值为−1．8−x|x|−3−211.当x 时，分式12.写出中间过程及结果：−2+(√5)= + = ．5013.如图，已知BD是△ABC的中线，CF是△BCD的中线，AE//CF交BD的延长线于点E，若△ADE的面积为3，则△ABC的面积是 ．14.为使x2+bx+5在整数范围内可以分解因式，则b可能取的值为 ．15.如图，AD是△ABC的角平分线，若AB:AC=5:3，则S△ABD:S△ACD= ，进而BC:CD= ．爱16.已知△ABC如图，现将△ABC绕点B逆时针旋转，使点A落在射线BP上，求作△A′C′B．作法：在BP上截BA=BA，以点B为圆心、BC为半径作弧，以点A为圆心、AC为半径作弧，两弧在射线BP右侧交于′′智康点C′，则△A′C′B即为所求．请简述操作原理： ．三、解答题（共46分）17.计算：（1）x2y−4y．（2）−x3+x(2x−1)．18.分式化简：（1）−3ab4x2÷21b10xy．（2）1y(x−y)2+2x2−3xy+2y2．19.解方程：（1）12x1−xx−2+x+=2−2．（2）(27x−1222x−3x−448)×(3)=9．20.先化简，再求值：(a2+1a−2)÷(a+2)(a−1)a2+2a，其中a2−4=0．21.如图，OC是∠AOB的角平分线，点P、F在OC上，PD⊥AO于点D，PE⊥BO于点E，连接DFDF=EF．、EF．求证：爱22.列方程解应用题：在生产操作中，有些化工原料对人体有害，所以需要用机器人来搬运．现有A、B两种机器人，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30kg，A型机器人900kg所用时间与B型机器人搬运600kg所用时间相等，则两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？23.将4×4的棋盘沿格线划分成两个全等图形，参考图例补全另外几种．24.我市中小学全面开展“阳光体育”活动，某校在大课间中开设了A：体操；B：跑操；C：舞蹈；D：健美操四项活动．为了了解学生最喜欢哪一项活动，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有 人．（2）请将统计图2补充完整．（3）统计图1中B项目对应的扇形的圆心角是 度．（4）已知该校共有学生3600人，请根据调查结果估计该校喜欢健美操的学生人数，并给出对活动安排的合理建议．25.小明做数学作业时遇到一道证明题：求证三角形的三条角平分线交于一点．小明首先根据题意画出图形如下面左图．智康爱然后他将原命题转化为：已知：在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点I，求证：AI是__________．（1）请帮小明补全命题的结论：AI是 ．（2）结合右图，补全下面证明过程（括号中填写定理内容）作IP⊥BC于点P，IQ⊥AC于点Q，IR⊥AB于点R．∵BI平分∠ABC，IP⊥BC，IR⊥AB，∴IP=IR（ ），同理： ，∴IQ=IR，又∵IQ⊥AC，IR⊥AB，∴ （ ）．（3）根据上述结论，完成下述作图任务：如图，有一张矩形纸片ABCD，上面画有一个角的两边m、n，但是这个角的顶点P在纸片的外部，试在纸片上作出∠P的平分线．（要求：尺规作图，不得折纸，不得超出矩形纸片，保留作图痕迹，不必写作法）26.在平面直角坐标系中，点A(0,6)，B(8,0)，AB=10，如图作∠DBO=∠ABO，∠CAY=∠BAO，直线CD过点O．（1）写出线段AC、BD的关系．（2）动点P从A出发，沿A−O−B路线运动，速度为1，到B点处停止；动点Q从B出发，沿B−O−A运动，速度为2，到A点处停止．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作PE⊥CD于点E，智康QF⊥CD于点F．问两动点运动多长时间时△OPE与△OQF全等？爱27.已知n是整数，且|n2+2n−224|是质数，则n= ．28.如图，△ABC中，AB=AC，∠B=∠C=40∘，点E、F在BC边上，∠AEF=70∘，∠AFE=60∘，求线段BE、EF、CF围成的三角形的各内角度数．29.在笔直的公路上，一只老虎想捕获距离它14米远的一只兔子．老虎跑5步的距离，兔子要跑9步；老虎跑3步的时间，兔子能跑4步．问老虎能否追上兔子．如果能追上，求老虎跑多远追上；如果不能追上，叙述理由．30.我们在A卷25题中证明了“三角形的三条角平分线交于一点”，这点I叫做△ABC的内心，显然内心I到三角形三边的距离相等，这个距离叫做三角形的“内切圆半径”，记作r，下面我们来讨论r的求法．（1）已知，如图，△ABC的三边长AB=c，AC=b，BC=a，面积为S，则S=S△IAB+S△IBC+S△IAC= ．∴r= （用a、b、c、S表示）．智康附加题（第27题3分，28题5分，29、30题每题6分）（2）特别地，在Rt△ABC中∠ACB=90∘，如图，（1）中结论仍然成立，而S=、S表示），记作①式．ab，故r= （用a、b、c2另外，容易证明四边形IPCQ为正方形，即CP=CQ=r，所以可以得到r的另一种表达方式r= （用a、b、c、S表示），记作②式．由上述①式②式相等，请继续推导直角三角形中a、b、c的关系．
