双缝干涉条纹间距公式的推导——两种方法

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双缝干预条纹间距公式的推导

y dO  2· · d 2x

如图建立直角坐标系，其x轴上横坐标为dd的点与的点为两波源。这两个波源的振动情况完全一样，那么这两个波源发生干预时的加强区为到两个波源的距22dd

,0、,0为所有双曲线的公共焦点。这个双曲线簇的方程为： 22

离差为波长整数倍n〔零除外〕的双曲线簇。其中x2n22y2dn22221

y dO  2· · d 2x 实用文档.

用直线yl去截这簇双曲线，直线与双曲线的交点为加强的点。将yl代入双曲线簇的方程，有：

x2n22l2dn22221

解得：

l2 xn42dn22上式中，d的数量级为10m，为10m。故dnd，x的表达式简化为：

472222l2xn42

dl24其中l的数量级为10m，d的数量级为10m。故210，x的表达式简化为：

d04l2nl xn2dd可见，交点横坐标成一等差数列，公差为〔1〕条纹是等间距的； 〔2〕相邻两条纹的间距为

l，这说明： dl。 dl。 d至此，证明了条纹间距公式：x

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杨氏双缝干预条纹间距到底是不是相等的？

海军航空工程学院 李磊 梁吉峰 选自?物理教师?2021年第11期

在杨氏双缝干预实验中，在现行的高中物理教科书中得出相邻的明纹〔或者暗纹〕中心间距为：Δx＝Lλ/d，其中L为双缝与屏的间距，d为双缝间距，对单色光而言，其波长λ为定值，所以我们得出的结论是干预图样为等间距的一系列明暗一样的条纹，但是在现行的高中物理教科书中所给的干预条纹的照片却并非如此，如图1。我们可以看到只是在照片局部的干预条件是等间距的，但是在其边缘局部的条纹的间距明显与局部的条纹间距不同。问题到底出在哪里呢？

首先我们来看现行的教科书上对于杨氏双缝干预的解释，如图2。

设定双缝S1、S2的间距为d，双缝所在平面与光屏P平行。双缝与屏之间的垂直距离为L，我们在屏上任取一点P1，设定点P1与双缝S1、S2的距离分别为r1和r2，O为双缝S1、S2的中点，双缝S1、S2的连线的中垂线与屏的交点为P0，设P1与P0的距离为x，为了获得明显的干预条纹，在通常情况下L>>d，在这种情况下由双缝S1、S2发出的光到达屏上P1点的光程差Δr为

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S2M＝r2－r1≈dsinθ， 〔1〕 其中θ也是OP0与OP1所成的角。 因为d<x

sinθ≈tanθ＝ 〔2〕

Lx

因此Δr≈dsinθ≈d

L

x

当Δr≈d ＝±kλ时，屏上表现为明条纹，其中k＝0，1，2，……， 〔3〕

L

x1

当Δr≈d ＝±〔k＋ 〕λ时，屏上表现为暗条纹，其中是k＝0，1，2，……。 〔3′〕

L2我们继续算得光屏上明条纹和暗条纹的中心位置。

L

当x＝±k λ时，屏上表现为明条纹，其中k＝0，1，2，…。 〔4〕

d

1L

当x＝±〔k＋ 〕 λ时，屏上表现为暗条纹，其中k＝0，1，2，…。 〔4′〕

2d我们还可以算出相邻明条纹〔或者暗条纹〕中心问的距离为 L

Δx＝xk＋1－xk＝ λ。 〔5〕

d

至此我们得出结论：杨氏双缝干预条纹是等间距的。

问题就在于以上的推导过程中，我们用过两次近似，第1次是在运用公式Δr＝r2－r1≈dsinθ的时候，此式近似成立的条件是∠S1P1S2很小，因此有S1M⊥S2P1，S1M⊥OP1，因此∠P0OP1＝∠S2S1M，如果要保证∠S1P1S2很小，只要满足d<第2次近似是因为d<表1 θ sinθ tanθ θ 1° 8° 2° 9° 3° 10° 4° 11° 5° 6° 7° 实用文档.

sinθ tanθ tanθ－sinθ

从表1中我们可以看出当θ＝6°时， ≈0.6%。因此当θ≥6°时，相对误差就超过了0.6%，因此我们通常说sinθ＝tanθ成立的条件是θ≤5°，

sinθ当θ＞5°时，sinθ≈tanθ就不再成立。而在杨氏双缝干预实验中，θ很小所对应的条件应该是x<而当x较大时，也就是光屏上离P0较远的点所对应的θ角也较大，当θ＞5°时，sinθ≈tanθ就不再成立，上述推导过程也就不完全成立了，〔2〕式就不能再用了。

此时sinθ＝

xLx22

所以，Δr≈dsinθ＝

dxLx22＝±kλ，屏上表现为明条纹，其中k＝0，1，2，…，

Δr≈dsinθ＝

dxL2x21

＝±〔k＋ 〕λ，屏上表现为暗条纹，其中k＝0，1，2，…。

2

因此可以得到光屏上明纹或者暗纹的中心位置为x＝±

Lkdk222，屏上表现为明条纹，其中k＝0，1，2，…，

1L(k)2x＝±，屏上表现为暗条纹，其中k＝0，1，2，…。 1d2(k)222那么相邻的明条纹中心问距为

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Δx明＝xk＋1明一xk明＝邻暗条纹中心间距为

L(k1)d(k1)222－

Lkdk222

11L(k1)L(k)22Δx暗＝xk＋1暗一xk暗＝－ 11d2(k1)22d2(k)2222由上式可见相邻的明、暗条纹就不再是等间距的了，这也正如教科书上的照片所示的条纹分布。

下面我们通过一个实例来定量计算等间距条纹的条数。

14

×10Hz〕的红光照射间距为2mm的双缝时，试求我们能观察到的等间距的条纹的条数。 解：因为Δr＝dsinθ＝kλ，所以 dsinθνdsinθk＝ ＝ ＝≈2.8。

λc

考虑到光屏的两侧，我们最终能够在光屏上观察到的等间距的条纹大致为5条。

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