广东省北江中学2009届高三数学12月份月考 (理科).doc

第一部分 选择题(共40分)

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

21.已知集合A{x|ylog2(x2x2),xR},B{x|y1x,xR}则AB=（ ）

A. (1,1) B. (1,1] C. (1,2) D. [1,2]

2. 已知复数z满足A

33iz3i，则z＝（ ） 33333333－i B. －i C ＋i D ＋i 22442244

3. 甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划

采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90人的样本，应在这三校分别抽取学生 （ ）

A.30人，30人，30人 B.30人，45人，15人 C.20人，30人，10人 D.30人，50人，10人

4. 已知函数f(x)2sin(x)对任意x都有f(A. 2或0 B. 2或2 C. 0 D. 2或0

5.“a2”是“(xa)6的展开式的第三项是60x”的________条件 （ ） A.充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要

6. 甲、乙两间工厂的月产值在08年元月份时相同,甲以后每个月比前一个月增加相同的产值.乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同.到08年11月份发现两间工厂的月产值又相同.比较甲、乙两间工厂08年6月份的月产值大小，则有 （ ）

A. 甲的产值<乙的产值 B. 甲的产值=乙的产值 C. 甲的产值>乙的产值 D.不能确定

7. 已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且f(x1)46x)f(x),则f()等于（ ） 661,若f(x)在[1,0]上是减函数,那么f(x)在f(x)[2,3]上是 （ ）

A. 增函数 B. 减函数 C. 先增后减的函数 D. 先减后增的函数

8. △ABC内有一点O,满足OAOBOC0,且OAOBOBOC.则△ABC一定是（ ）

A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形

第二部分 非选择题(共110分)

二. 填空题(每小题5分,共30分)

9. 从5名外语系大学生中选派4名同学参加广州亚运会翻译、交通、礼仪三项义工活动，要求翻译有2人参加，交通和礼仪各有1人参加，则不同的选派方法共有 . (用数字作答) 10. 定义某种运算Sab,运算原理如图1所示,则式子: 512tanlnelg100的值是 . 43

11. 如图2，由两条曲线

1开始 输入两个数a和b yx2,4yx2及直线y1所围成

的图形的面积为 。

是 否 ab 输出a×(b–1) 输出a×(b+1) 结束 图1 xy2012.已知实数x,y满足不等式组xy40,

2xy50目标函数zyax(aR).若z取最大值时的唯一最优解是 (1,3),则实数a的取值范围是________________.

注意，请从13－15题中任选两题，三题都选只计算前两题得分. 13．（坐标系与参数方程选做题）把极坐标方程cos(____________________. 14．（几何证明选讲选做题）如图，梯形ABCD，AB//CD，

6)1化为直角坐标方程是

E是对角线AC和BD的交点，SDEC:SDBC1:3，

则SDEC:SABD__________ .

DECBA15. (不等式选讲选做题) 函数y5x1102x的最大值为_________________。

三.解答题（共6小题,共80分,请写出必要的解题步骤） 16.(本小题满分12分)

y 已知f(x)Asin(x)(A0,0,)的图象如图 224 （Ⅰ）求yf(x)的解析式；

（Ⅱ）说明yf(x)的图象是由ysinx的图象经过怎样的变换得到?

4  0 6 x

17. (本小题满分12分)

旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条. （Ⅰ）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率； （Ⅱ）求选择甲线路旅游团数的分布列和期望.

18. (本小题满分14分)

已知一动圆M,恒过点F(1,0)，且总与直线l:x1相切, （Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹C的方程；

（Ⅱ）探究在曲线C上,是否存在异于原点的A(x1,y1),B(x2,y2)两点,当y1y216时,直线AB恒过定点?若存在,求出定点坐标;若不存在,说明理由.

19. (本小题满分14分)

如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

CACBCDBD2,ABAD2. （Ⅰ）求证：AO平面BCD；

（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的余弦值； （Ⅲ）求点E到平面ACD的距离．

A D O B E

C

20. (本小题满分14分)

已知f(x)axlnx,x(0,e],g(x)lnx，其中e是自然常数，aR. x1; 2（Ⅰ）讨论a1时, f(x)的单调性、极值； （Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，f(x)g(x)（Ⅲ）是否存在实数a，使f(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.

21. (本小题满分14分)

已知数列{an},a1a22,an1an2an1(n2) （Ⅰ）求数列{an}的通项公式an （Ⅱ）当n2时,求证:

1a1...13 1a2an（Ⅲ）若函数f(x)满足：f(1)a1,f(n1)f2(n)f(n).(nN*) 求证：n1k1f(k)112.

广东北江中学09届高三12月月考数学(理)试卷参

一、选择题：BDBBA CAD 二、填空题：9.60; 10.8; 11.

4; 12. (1,)；13. 33xy20; 14.1：6；15.63 三、解答题：

16.(本小题满分12分)

解: ( 1) 由图知A= 4----------------1分

3T5109,得T 所以-------------3分 4669599由 ,得-------------5分,所以,f(x)4sin(x)---------6分

562555由

单位得ysin(x)的图象--------8分

5559② 再由ysin(x)图象的横坐标缩短为原来得ysin(x)的图象---10分

595599③由ysin(x)的图象纵坐标伸长为原来的4倍得f(x)4sin(x)的图象 12

5555(2) ①由ysinx得图象向左平移17. (本小题满分12分)

3A43解：（1）3个旅游团选择3条不同线路的概率为：P1=3„„4分

84 （2）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3„„„„„„5分

C33327 P（ξ=0）=3，P（ξ=1）=3344

∴

∴ξ的分布列为：

ξ 0 1 2 3 1213C33279C31，P（ξ=2）= 3，P（ξ=3）= 3„9分

44P „„„„„„10分 272791 2727913期望Eξ=0×+1×+2×+3×=„„„„„„12分

418. (本小题满分14分)

解: (1) 因为动圆M,过点F(1,0)且与直线l:x1相切,所以圆心M到F的距离等于到直线l的距离.所以,点M的轨迹是以F为焦点, l为准线的抛物线,且所以所求的轨迹方程为y4x---------5分 (2) 假设存在A,B在y4x上,

22p1,p2, 2y2y1y12y2y1(x) (xx1),即 yy12所以,直线AB的方程:yy12y2y4x2x1144y124即AB的方程为:yy1(x),即 (y1y2)yy12y1y24xy12

y1y24即:(y1y2)y(164x)0，令y0,得x4，

所以,无论y1,y2为何值,直线AB过定点(4,0)

19(本小题满分14分)

解:方法一：⑴．证明：连结OC BODO,ABAD,AOBD. „„„„ 1分

A BODO,BCCD，COBD． „„„ 2分

在AOC中，由已知可得AO1,CO3. „ 3分

Ｍ D C

而AC2， AO2CO2AC2, „„„„„„„ 4分

O

B ⑵．解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的

E 中点知ME∥AB,OE∥DC，

∴ 直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角，„„„„„ 8分 在OME中，EMAOC90o,即AOOC. „„„„„„„ 5分 BDOCO, ∴AO平面BCD． „„„ 6分

121AB,OEDC1, 2221OM是直角AOC斜边AC上的中线，∴OMAC1 „„„„„9分

2OE2EM2OM222∴cosOEM，∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为．„ 11分 2OEEM4411⑶．解：设点E到平面ACD的距离为h． VEACDVACDE，hSACDAOSCDE „„12分

33 在ACD中，CACD2,AD2,

1323127,而AO1，SCDE． 2SACD222()224222231AOSCDE221， ∴点E到平面ACD的距离为21 „14分 ∴hSACD7772 方法二：⑴．同方法一．

⑵．解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则B(1,0,0),D(1,0,0),

13C(0,3,0),A(0,0,1),E(,,0),BA(1,0,1),CD(1,3,0). 22BACD2cosBA,CD， „„„„„ 9分 4BACD∴ 异面直线AB与CD所成角的余弦值为

z A 2．„„ 10分 4xE nAD(x,y,z)(1,0,1)0⑶．解：设平面ACD的法向量为n(x,y,z),则， nAC(x,y,z)(0,3,1)0

B O D C y xz0∴，令y1,得n(3,1,3)是平面ACD的一个法向量． 3yz0ECn13321 又EC(,∴点E到平面ACD的距离 h．„14分 ,0), 2277n20(本小题满分14分)

解：（Ⅰ）f(x)xlnx，f(x)11x1 „„1分 xx∴当0x1时，f/(x)0，此时f(x)单调递减

当1xe时，f/(x)0，此时f(x)单调递增 „„3分

∴f(x)的极小值为f(1)1 „„4分 （Ⅱ）f(x)的极小值为1，即f(x)在(0,e]上的最小值为1， ∴ f(x)0，f(x)min1 „„5分

1lnx11lnx，h(x)， „„6分 2x2x当0xe时，h(x)0，h(x)在(0,e]上单调递增 „„7分

1111∴h(x)maxh(e)1|f(x)|min

e2221∴在（1）的条件下，f(x)g(x) „„9分

2（Ⅲ）假设存在实数a，使f(x)axlnx（x(0,e]）有最小值3，

1ax1f/(x)a„„9分

xx令h(x)g(x)① 当a0时，f(x)在(0,e]上单调递减，f(x)minf(e)ae13，a（舍去），所以，此时f(x)无最小值.„„10分 ②当04

e

f(x)min③ 当

111

e时，f(x)在(0,)上单调递减，在(,e]上单调递增 aaa

1f()1lna3，ae2，满足条件. „„11分

a14

e时，f(x)在(0,e]上单调递减，f(x)minf(e)ae13，a（舍去），所以，此时f(x)ae

2无最小值.综上，存在实数ae，使得当x(0,e]时f(x)有最小值3.

21(本小题满分14分)

解: (1) an1an2an1,两边加an得: an1an2(anan1)(n2),

an1an42n122n---------①

由an1an2an1两边减2an得: an12an(an2an1)(n2) {an12an} 是以1为公比, a22a12为首项的等比数列.

{an1an} 是以2为公比, a1a24为首项的等比数列.

an12an2(1)n12(1)n----②

①-②得: 3an2[2n(1)n]所以,所求通项为an2n[2(1)n]--------5分 3

(2) 当n为偶数时,

1131132n12n[]an1an22n112n122n12n2n2n11n1nn1n

322322311n1n()(n2)2222n1122n12n22n12n11n111311131...(12...n)233n3 a1a2an2222211222n1n当n为奇数时,an[2(1)]0,an10,0,又n1为偶数

3an111111113--------10分 由(1)知, ......a1a2ana1a2anan1（3）证明：f(n1)f(n)f2(n)0

f(n1)f(n),f(n1)f(n)f(n1)f(1)20 111112又

f(n1)f(n)f(n)f(n)[f(n)1]f(n)f(n)1111----------------------------------------------------------------12分 f(n)1f(n)f(n1)n1111111[][][]f(1)f(2)f(2)f(3)f(n)f(n1)k1f(k)11111.f(1)f(n1)f(1)2

-----14分