期末复习(一) 相交线与平行线
01 各个击破 命题点1 命题
【例1】 已知下列命题：①若a＞0，b＞0，则a＋b＞0；②若a≠b，则a2≠b2；③两点之
间，线段最短；④同位角相等，两直线平行．其中真命题的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】 命题①、③、④显然成立，对于命题②，当a＝2、b＝－2时，虽然有a≠b，但a2＝b2，所以②是假命题．
【方法归纳】 要判断一个命题是假命题，只需要举出一个反例即可．和命题有关的试题，多以选择题的形式出现，以判断命题真假为主要题型．
1．下列语句不是命题的是( )
A．两直线平行，同位角相等 B．锐角都相等
C．画直线AB平行于CD D．所有质数都是奇数
2．(兴化三模)说明命题“x＞－4，则x2＞16”是假命题的一个反例可以是x＝________． 3．(日照期中)命题“同旁内角互补”的题设是_____________________，结论是____________，这是一个________命题(填“真”或“假”)． 命题点2 相交线中的角
【例2】 如图所示，直线AB，CD相交于点O，作∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE.
(1)判断OF与OD的位置关系；
(2)若∠AOC∶∠AOD＝1∶5，求∠EOF的度数．
【思路点拨】(1)根据∠DOE＝∠BOD，OF平分∠AOE，求得∠FOD＝90°，从而判断OF与OD的位置关系．
(2)根据∠AOC，∠AOD的度数比以及邻补角性质，求得∠AOC.然后利用对顶角性质得∠BOD的度数，从而得∠EOD的度数．最后利用∠FOD＝90°，求得∠EOF的度数．
【解答】
【方法归纳】 求角的度数问题时，要善于从图形中挖掘隐含条件，如：邻补角、对顶角，然后结合条件给出的角的和、差、倍、分等关系进行计算．
4．(滕州校级模拟)如图，两条直线AB，CD交于点O，射线OM是∠AOC的平分线，若∠BOD＝80°，则∠BOM等于( )
A．40°
B．120°
C．140° D．100°
5．如图，直线AB，CD相交于点O，已知：∠AOC＝70°，OE把∠BOD分成两部分，且∠BOE∶∠EOD＝2∶3，求∠AOE的度数．
1
6．如图所示，O是直线AB上一点，∠AOC＝∠BOC，OC是∠AOD的平分线．
3
(1)求∠COD的度数；
(2)判断OD与AB的位置关系，并说出理由．
命题点3 平行线的性质与判定
【例3】 已知：如图，四边形ABCD中，∠A＝106°－α，∠ABC＝74°＋α，BD⊥DC于点D，EF⊥DC于点F.求证：∠1＝∠2.
【思路点拨】 由条件得∠A＋∠ABC＝180°，得AD∥BC，从而∠1＝∠DBC.由BD⊥DC，EF⊥DC，可得BD∥EF，从而∠2＝∠DBC，所以∠1＝∠2，结论得证．
【解答】
【方法归纳】 本题既考查了平行线的性质又考查了平行线的判定．题目的证明用到了“平行线迁移等角”．
7．(燕山区一模)如图，∠1＝∠B，∠2＝25°，则∠D＝( )
A．25°
B．45°
C．50° D．65°
8．(山亭区期末)如图所示是一条街道的路线图，若AB∥CD，且∠ABC＝130°，那么当∠CDE等于________时，BC∥DE.( )
A．40°
B．50°
C．70° D．130°
9．已知，如图，∠1＝132°，∠ACB＝48°，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，问AB与CD是否垂直？并说明理由．
命题点4 平移
【例4】 (晋江中考)如图，在方格纸中(小正方形的边长为1)，三角形ABC的三个顶点均为格点，将三角形ABC沿x轴向左平移5个单位长度，根据所给的直角坐标系(O是坐标原点)，解答下列问题：
(1)画出平移后的三角形A′B′C′，并直接写出点A′、B′、C′的坐标； (2)求出在整个平移过程中，三角形ABC扫过的面积．
【思路点拨】 (1)根据网格结构找出点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出坐标即可；
(2)观察图形可得三角形ABC扫过的面积为四边形AA′B′B的面积与三角形ABC的面积的和，然后列式进行计算即可．
【解答】
【方法归纳】 熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
10．(宁德中考)如图，将直线l1沿着AB的方向平移得到直线l2，若∠1＝50°，则∠2的度数是( )
A．40°
B．50°
C．90° D．130°
11．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝4，将三角形ABC沿CB方向向右平移得到三角形DEF，若平移距离为2，则四边形ABED的面积等于________．
12．如图，在长方形草地内修建了宽为2米的道路，则草地面积为________米2.
02 整合集训 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．图中，∠1、∠2是对顶角的为( )
2．如图，直线AB、CD被直线EF所截，则∠3的同旁内角是( )
A．∠1
B．∠2
C．∠4 D．∠5
3．如图，已知AB⊥CD，垂足为点O，图中∠1与∠2的关系是( )
A．∠1＋∠2＝180°
C．∠1＝∠2
B．∠1＋∠2＝90° D．无法确定
4．如图，梯子的各条横档互相平行，若∠1＝80°，则∠2的度数是( )
A．80° B．100° C．110° D．120°
5．如图，“龟兔赛跑”的故事图案的形成过程叙述不正确的是( )
A．它可以看作是一个龟兔图案作为“基本图案”经过平移得到的 B．它可以看作是上面三个龟兔图案作为“基本图案”经过平移得到的 C．它可以看作是相邻两个龟兔图案作为“基本图案”经过平移得到的 D．它可以看作是左侧两个龟兔图案作为“基本图案”经过平移得到的
6．命题：①对顶角相等；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等．其中假命题有( )
A．1个
B．2个
C．3个 D．4个
7．以下关于距离的几种说法中，正确的有( )
①连接两点间的线段长度叫做这两点的距离；
②连接直线外的点和直线上的点的线段叫做点到直线的距离； ③从直线外一点所引的这条直线的垂线叫做点到直线的距离； ④直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离． A．1个
B．2个
C．3个 D．4个
8．下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1＝∠2的是( )
9．如图，点E在CD的延长线上，下列条件中不能判定AB∥CD的是( )
A．∠1＝∠2 C．∠5＝∠B
B．∠3＝∠4
D．∠B＋∠BDC＝180°
10．如图，l∥m，∠1＝115°，∠2＝95°，则∠3＝( )
A．120°
B．130°
C．140° D．150°
二、填空题(每小题4分，共20分)
11．将命题“两直线平行，同位角相等”写成“如果……那么……”的形式是_______________________________．
12．将线段AB平移1 cm，得到线段A′B′，则点A到点A′的距离是________． 13．(1)如图1，村庄A到公路BC最短的距离是AD，根据是________________；
(2)如图2，建筑工人常在一根细绳上拴上一个重物，做成一个“铅锤”，挂铅锤的线总垂直于地面内的任何直线，当这条线贴近墙壁时，说明墙与地面垂直，请说出它的根据是________________________________________．
图1 图2
14．如图，BC⊥AE，垂足为点C，过C作CD∥AB.若∠ECD＝48°，则∠B＝________．
15．(温州中考)如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝________度．
三、解答题(共50分)
16．(7分)如图，∠1＝60°，∠2＝60°，∠3＝85°，求∠4的度数．
解：∵∠1＝60°，∠2＝60°， ∴∠1＝∠2.
∴a∥________(________________)． ∴∠4＝∠________(________________)． ∵∠3＝85°， ∴∠4＝________．
17．(9分)如图，直线AB、CD相交于点O，P是CD上一点．
(1)过点P画AB的垂线段PE，垂足为E； (2)过点P画CD的垂线，与AB相交于F点；
(3)说明线段PE、PO、FO三者的大小关系，其依据是什么？
18．(10分)如图，O是直线AB上一点，OD平分∠AOC.
(1)若∠AOC＝60°，请求出∠AOD和∠BOC的度数；
1
(2)若∠AOD和∠DOE互余，且∠AOD＝∠AOE，请求出∠AOD和∠COE的度数．
3
19．(12分)如图，∠1＋∠2＝180°，∠A＝∠C，DA平分∠BDF.
(1)AE与FC平行吗？说明理由；
(2)AD与BC的位置关系如何？为什么？
(3)BC平分∠DBE吗？为什么？
20．(12分)探究题：
(1)如图1，若AB∥CD，则∠B＋∠D＝∠E，你能说明理由吗？
(2)反之，若∠B＋∠D＝∠E，直线AB与CD有什么位置关系？
(3)若将点E移至图2的位置，此时∠B，∠D，∠E之间有什么关系？
(4)若将点E移至图3的位置，此时∠B，∠D，∠E之间的关系又如何？
(5)在图4中，AB∥CD，∠E＋∠G与∠B＋∠F＋∠D之间有何关系？
图1 图2 图3 图4
参
各个击破 例1 C
1
例2 (1)∵OF平分∠AOE，∴∠AOF＝∠EOF＝∠AOE.
21
又∵∠DOE＝∠BOD＝∠BOE，
2
11
∴∠DOE＋∠EOF＝(∠BOE＋∠AOE)＝×180°＝90°，即∠FOD＝90°.∴OF⊥OD.
22(2)设∠AOC＝x°，∵∠AOC∶∠AOD＝1∶5，∴∠AOD＝5x°. ∵∠AOC＋∠AOD＝180°，∴x＋5x＝180，解得x＝30. ∴∠DOE＝∠BOD＝∠AOC＝30°. 又∵∠FOD＝90°，
∴∠EOF＝90°－30°＝60°.
例3 证明：∵∠A＝106°－α，∠ABC＝74°＋α，∴∠A＋∠ABC＝180°.∴AD∥BC.∴∠1＝∠DBC.
∵BD⊥DC，EF⊥DC，∴∠BDF＝∠EFC＝90°. ∴BD∥EF.∴∠2＝∠DBC. ∴∠1＝∠2.
例4 (1)平移后的三角形A′B′C′如图所示；点A′、B′、C′的坐标分别为(－1，5)、(－4，0)、(－1，0)．
(2)由平移的性质可知，四边形AA′B′B是平行四边形，
1165
∴S＝S四边形AA′B′B＋S三角形ABC＝B′B·AC＋BC·AC＝5×5＋×3×5＝.
222题组训练
1．C 2.－3 3.两个角是两条直线被第三条直线所截得到的同旁内角 这两个角互补 假 4.C
5.解：∵∠AOC＝70°，∴∠BOD＝∠AOC＝70°. ∵∠BOE∶∠EOD＝2∶3， ∴∠BOE＝
2
×70°＝28°. 2＋3
∴∠AOE＝180°－28°＝152°.
1
6.解：(1)∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∠AOC＝ ∠BOC，
31
∴∠BOC＋∠BOC＝180°.∴∠BOC＝135°.∴∠AOC＝45°. 3∵OC平分∠AOD， ∴∠COD＝∠AOC＝45°.
(2)OD⊥AB.理由如下：∵∠COD＝∠AOC＝45°， ∴∠AOD＝∠COD＋∠AOC＝90°. ∴OD⊥AB. 7.A 8.B
9.解：AB⊥CD.理由：∵∠1＝132°，∠ACB＝48°，∴∠1＋∠ACB＝180°.∴DE∥BC.∴∠2＝∠DCF.
又∵∠2＝∠3，∴∠3＝∠DCF.∴FH∥CD.∴∠BHF＝∠BDC. 又∵FH⊥AB，∴∠BHF＝90°. ∴∠BDC＝90°. ∴AB⊥CD. 10.B 11.8 12.144 整合集训
1．C 2.B 3.B 4.B 5.C 6.C 7.A 8.B 9.A 10.D 11.如果两直线平行，那么同位角相等 12.1 cm
13.(1)垂线段最短 (2)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 14.42° 15.80
16.b 同位角相等，两直线平行 3 两直线平行，同位角相等 85° 17.解：(1)、(2)如图．(3)PE118.解：(1)∵OD平分∠AOC，∠AOC＝60°，∴∠AOD＝×∠AOC＝30°，∠BOC＝180°
2－∠AOC＝120°.
(2)∵∠AOD和∠DOE互余，∴∠AOE＝∠AOD＋∠DOE＝90°. 1
∵∠AOD＝∠AOE，
3
1
∴∠AOD＝×90°＝30°.
3∴∠AOC＝2∠AOD＝60°. ∴∠COE＝90°－∠AOC＝30°.
19.解：(1)AE∥FC.理由：∵∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠CDB＝180°， ∴∠1＝∠CDB. ∴AE∥FC.
(2)AD∥BC.理由：∵AE∥CF，∴∠C＝∠CBE. 又∠A＝∠C，∴∠A＝∠CBE. ∴AD∥BC. (3)BC平分∠DBE.
理由：∵DA平分∠BDF，∴∠FDA＝∠ADB.
∵AE∥CF，AD∥BC，∴∠FDA＝∠A＝∠CBE，∠ADB＝∠CBD.∴∠CBE＝∠CBD. ∴BC平分∠DBE.
20.解：(1)理由：过点E作EF∥AB，∴∠B＝∠BEF.
∵CD∥AB，∴CD∥EF.∴∠D＝∠DEF.∴∠B＋∠D＝∠BEF＋∠DEF＝∠BED. (2)AB∥CD.
(3)∠B＋∠D＋∠E＝360°. (4)∠B＝∠D＋∠E.
(5)∠E＋∠G＝∠B＋∠F＋∠D.
